Encontrar as derivadas das seguentes funções (F(x)) :
\int_{-x}^{x} \sin t^{2} dt.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se a derivada de F(x), onde
F(x)=\int_{-x}^{x} \sin t^{2}\,dt.
  • Dados importantes: os limites da integral dependem de x (são -x e x) e a função integranda é f(t)=\sin t^{2}.
  • Objetivo claro: encontrar F'(x).

Passo 2

Lembrete útil (Teorema Fundamental do Cálculo, versão básica).
  • Se G(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,dt com f contínua, então
G'(x)=f(x).
  • Significado das variáveis: f é a função integranda (em t), a é um limite fixo e x é o limite superior variável; a derivada de G é justamente o valor da integranda no ponto t=x.
  • Intuição rápida: a integral acumula área até x; mudar x um pouquinho altera a área por aproximadamente a altura f(x) vezes o pequeno aumento em x.

Passo 3

Generalização com regra da cadeia (limite superior variável).
  • Se H(x)=\displaystyle\int_{a}^{u(x)} f(t)\,dt então, aplicando o Teorema Fundamental + regra da cadeia,
H'(x)=f\big(u(x)\big)\,u'(x).
  • Aqui u(x) é o limite superior que depende de x; u'(x) é a derivada desse limite. A lógica: primeiro a derivada em relação ao limite é f(u(x)) e depois multiplica-se por a taxa que esse limite muda, u'(x).

Passo 4

Caso com ambos os limites variando (fórmula de Leibniz).
  • Se K(x)=\displaystyle\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt com f contínua e a(x),b(x) diferenciáveis, então
K'(x)=f\big(b(x)\big)\,b'(x)-f\big(a(x)\big)\,a'(x).
  • Explicação rápida do porquê do sinal menos: pode-se escrever K(x)=\int_{0}^{b(x)}f-\int_{0}^{a(x)}f; ao derivar cada termo aparece f(b(x))b'(x) e subtrai-se f(a(x))a'(x).

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso problema.
  • Identificamos: f(t)=\sin t^{2}, a(x)=-x, b(x)=x.
  • Derivadas dos limites: a'(x)=\dfrac{d}{dx}(-x)=-1 e b'(x)=\dfrac{d}{dx}x=1.
  • Pela fórmula de Leibniz,
F'(x)=f\big(b(x)\big)\,b'(x)-f\big(a(x)\big)\,a'(x).
Substituindo,
F'(x)=\sin\big(x^{2}\big)\cdot 1 - \sin\big((-x)^{2}\big)\cdot(-1).

Passo 6

Simplificando a expressão obtida.
  • Observe que (-x)^{2}=x^{2}, logo \sin\big((-x)^{2}\big)=\sin\big(x^{2}\big).
  • Portanto
F'(x)=\sin\big(x^{2}\big) + \sin\big(x^{2}\big)=2\sin\big(x^{2}\big).

Passo 7

Método alternativo (intuição pela simetria), para fixar a ideia.
  • A função f(t)=\sin t^{2} é par, porque f(-t)=\sin((-t)^{2})=\sin(t^{2})=f(t).
  • Então
F(x)=\int_{-x}^{x}\sin t^{2}\,dt = 2\int_{0}^{x}\sin t^{2}\,dt.
  • Diferenciando este último com respeito a x e usando o Teorema Fundamental:
F'(x)=2\cdot \sin\big(x^{2}\big),
o mesmo resultado — bom sinal!

Passo 8

Observações finais e encorajamento.
  • A derivada existe para todo x, pois \sin t^{2} é contínua em \mathbb{R}.
  • Resumindo: aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo juntamente com a regra da cadeia (ou a fórmula de Leibniz) resolve esse tipo de integral com limites dependentes de x. Você mandou bem pedindo passo a passo — esse tipo de exercício aparece direto em prova, então decorar a fórmula de Leibniz ajuda muito. Vai na fé!

Resposta

F'(x)=2\sin\big(x^{2}\big)

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