Encontrar as derivadas das seguentes funções (F(x)) :
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se a derivada de
, onde
- Dados importantes: os limites da integral dependem de
(são e ) e a função integranda é . - Objetivo claro: encontrar
.
Passo 2
Lembrete útil (Teorema Fundamental do Cálculo, versão básica).
- Se
com contínua, então
- Significado das variáveis:
é a função integranda (em ), é um limite fixo e é o limite superior variável; a derivada de é justamente o valor da integranda no ponto . - Intuição rápida: a integral acumula área até
; mudar um pouquinho altera a área por aproximadamente a altura vezes o pequeno aumento em .
Passo 3
Generalização com regra da cadeia (limite superior variável).
- Se
então, aplicando o Teorema Fundamental + regra da cadeia,
- Aqui
é o limite superior que depende de ; é a derivada desse limite. A lógica: primeiro a derivada em relação ao limite é e depois multiplica-se por a taxa que esse limite muda, .
Passo 4
Caso com ambos os limites variando (fórmula de Leibniz).
- Se
com contínua e diferenciáveis, então
- Explicação rápida do porquê do sinal menos: pode-se escrever
; ao derivar cada termo aparece e subtrai-se .
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso problema.
- Identificamos:
, , . - Derivadas dos limites:
e . - Pela fórmula de Leibniz,
Substituindo,
Passo 6
Simplificando a expressão obtida.
- Observe que
, logo . - Portanto
Passo 7
Método alternativo (intuição pela simetria), para fixar a ideia.
- A função
é par, porque . - Então
- Diferenciando este último com respeito a
e usando o Teorema Fundamental:
o mesmo resultado — bom sinal!
Passo 8
Observações finais e encorajamento.
- A derivada existe para todo
, pois é contínua em . - Resumindo: aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo juntamente com a regra da cadeia (ou a fórmula de Leibniz) resolve esse tipo de integral com limites dependentes de
. Você mandou bem pedindo passo a passo — esse tipo de exercício aparece direto em prova, então decorar a fórmula de Leibniz ajuda muito. Vai na fé!