Encontrar as derivadas superiores y^{\prime}, y^{\prime \prime}, y^{\prime \prime \prime} das seguintes funções:
y=\frac{\operatorname{sen} x}{x}

Passo 1

O enunciado pede as três primeiras derivadas de
y=\frac{\sin x}{x}.
O conteúdo que vamos usar é a regra do quociente (ou, equivalente, produto com x^{-1}) e simplificação algébrica após cada derivação.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente
\displaystyle y=\frac{u}{v} com u=\sin x e v=x, temos
u'=\cos x,\quad v'=1
y'=\frac{u'v - uv'}{v^2} =\frac{(\cos x)\,x - (\sin x)\,1}{x^2} =\frac{x\cos x - \sin x}{x^2}.

Passo 3

Para y'', derivamos
y'=\frac{x\cos x - \sin x}{x^2}.
Seja N=x\cos x - \sin x e D=x^2. Então
N'= \cos x - x\sin x - \cos x = -\,x\sin x, \quad D'=2x.
Logo
y''=\frac{N'D - N D'}{D^2} =\frac{(-x\sin x)\,x^2 - (x\cos x - \sin x)\,2x}{x^4} =\frac{-x^3\sin x -2x^2\cos x +2x\sin x}{x^4} =\frac{-x^2\sin x -2x\cos x +2\sin x}{x^3}.

Passo 4

Para y''', derivamos
y''=\frac{-x^2\sin x -2x\cos x +2\sin x}{x^3}.
Seja M=-x^2\sin x -2x\cos x +2\sin x e G=x^3. Calculamos
M'=-\bigl(2x\sin x + x^2\cos x\bigr)-2\bigl(\cos x - x\sin x\bigr)+2\cos x =-x^2\cos x, \quad G'=3x^2.
Daí
y'''=\frac{M'G - M G'}{G^2} =\frac{(-x^2\cos x)\,x^3 - (-x^2\sin x -2x\cos x +2\sin x)\,3x^2}{x^6} =\frac{-x^5\cos x +3x^4\sin x +6x^3\cos x -6x^2\sin x}{x^6} =\frac{-x^3\cos x +3x^2\sin x +6x\cos x -6\sin x}{x^4}.

Resposta

y'=\displaystyle \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}.
y''=\displaystyle \frac{-x^2\sin x -2x\cos x +2\sin x}{x^3}.
y'''\displaystyle = \frac{-x^3\cos x +3x^2\sin x +6x\cos x -6\sin x}{x^4}.

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