Esboce o gráfico das funçõos abaixo justificando cada etapa:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo envolvido é esboço de curvas de funções polinomiais: identificamos domínio, zeros, derivadas para monotonia e concavidade, pontos críticos e de inflexão, e comportamento no infinito.
Passo 2
Como
é um polinômio, o domínio é todo
. Para encontrar as interceptações com o eixo
, resolvemos
Logo, as raízes são
(simples) e
(multiplicidade
). O ponto
é cruzamento e em
a curva toca e retorna.
Passo 3
Calculamos a primeira derivada para descobrir monotonia e pontos críticos:
Os pontos críticos são
e
. Fazendo o estudo de sinal de
:
para ,
e
(função crescente);
para ,
,
(decrescente);
para ,
,
(crescente).
Calculamos os valores:
para
para
para
Calculamos os valores:
Há um máximo local em
e um mínimo local em
.
Passo 4
Para concavidade e ponto de inflexão, usamos a segunda derivada:
Temos
para
(concavidade para baixo) e
para
(concavidade para cima). O ponto de inflexão é em
, com
isto é, em
.
Passo 5
Comportamento no infinito:
Resumindo o esboço:
- Cresce até
, com concavidade para baixo, atingindo o máximo . - Decresce de
até ; muda de concavidade em . - Em
toca o eixo (mínimo local em ) e volta a crescer, agora com concavidade para cima.
Resposta
O gráfico de
é uma curva que:
( ) sobe do
até
sendo côncava para baixo;
( ) desce passando pelo inflexão
e atinge o ponto de retorno em
;
( ) depois cresce para
sendo côncava para cima;
passa em , toca e retorna em
, tem máximo local em
e inflexão em
.
(
(
(
passa em