Esboce o gráfico das funçõos abaixo justificando cada etapa:
f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x
O conteúdo envolvido é esboço de curvas de funções polinomiais: identificamos domínio, zeros, derivadas para monotonia e concavidade, pontos críticos e de inflexão, e comportamento no infinito.

Passo 2

Como f é um polinômio, o domínio é todo \mathbb{R}. Para encontrar as interceptações com o eixo x, resolvemos
f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x =x\bigl(x^{2}-6x+9\bigr) =x(x-3)^{2}.
Logo, as raízes são x=0 (simples) e x=3 (multiplicidade 2). O ponto (0,0) é cruzamento e em x=3 a curva toca e retorna.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada para descobrir monotonia e pontos críticos:
f'(x)=3x^{2}-12x+9 =3(x^{2}-4x+3) =3(x-1)(x-3).
Os pontos críticos são x=1 e x=3. Fazendo o estudo de sinal de f'(x):
para x<1, (x-1)<0 e (x-3)<0 \Rightarrow f'(x)>0 (função crescente);
para 1<x<3, (x-1)>0, (x-3)<0 \Rightarrow f'(x)<0 (decrescente);
para x>3, (x-1)>0, (x-3)>0 \Rightarrow f'(x)>0 (crescente).
Calculamos os valores:
f(1)=1-6+9=4, \quad f(3)=27-54+27=0.
Há um máximo local em (1,4) e um mínimo local em (3,0).

Passo 4

Para concavidade e ponto de inflexão, usamos a segunda derivada:
f''(x)=6x-12 =6(x-2).
Temos f''(x)<0 para x<2 (concavidade para baixo) e f''(x)>0 para x>2 (concavidade para cima). O ponto de inflexão é em x=2, com
f(2)=8-24+18=2,
isto é, em (2,2).

Passo 5

Comportamento no infinito:
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, \quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
Resumindo o esboço:
  • Cresce até x=1, com concavidade para baixo, atingindo o máximo (1,4).
  • Decresce de x=1 até x=3; muda de concavidade em (2,2).
  • Em x=3 toca o eixo x (mínimo local em (3,0)) e volta a crescer, agora com concavidade para cima.

Resposta

O gráfico de f é uma curva que:
( 1) sobe do -\infty até (1,4) sendo côncava para baixo;
( 2) desce passando pelo inflexão (2,2) e atinge o ponto de retorno em (3,0);
( 3) depois cresce para +\infty sendo côncava para cima;
passa em (0,0), toca e retorna em (3,0), tem máximo local em (1,4) e inflexão em (2,2).

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