Usando todas as regras de derivação, derive as seguintes funçõs:
f(x)=\cos \left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=\cos\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, que envolve a derivada de \cos(u) e a derivada da função recíproca u(x)=1/x.

Passo 2

Usamos a regra da cadeia para f(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr):
f'(x) = -\sin\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot u'(x).
No nosso caso, u(x)=\tfrac{1}{x}.

Passo 3

Derivamos u(x)=x^{-1} usando a regra do poder:
u'(x) = -1\cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}.

Passo 4

Substituindo u(x)=\tfrac{1}{x} e u'(x)=-\tfrac{1}{x^2} em f'(x), vem
f'(x) = -\sin\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)\,\Bigl(-\tfrac{1}{x^2}\Bigr) = \frac{\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)}{x^2}.

Resposta

f'(x) = \frac{\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)}{x^2}.

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