Uma máquina que fabrica chapas de aço estava programada para fazer chapas com 20 kg em média, mas a máquina apresentou problemas e essa média mudou. Desejase saber o novo peso médio das chapas, antes que ocorra prejuízo. Uma amostra de 25 chapas apresentou média amostral de 19 kg , e desvio padrão amostral S=0,5 \mathrm{~kg}. Calcule um intervalo de confiança para a nova média populacional com coeficiente de confiança igual a 95 \%.

Passo 1

O enunciado diz que queremos estimar o novo peso médio \mu das chapas de aço, sabendo que a amostra de tamanho n=25 deu média amostral \bar x = 19 kg e desvio padrão amostral S = 0,5 kg. O conteúdo aqui é intervalo de confiança para média de população normal quando \sigma é desconhecido, usando distribuição t.

Passo 2

Como \sigma populacional é desconhecido e n=25<30, usamos a distribuição t com n-1=24 graus de liberdade. Para nível de confiança de 95\%, \alpha = 0,05 e \alpha/2 = 0,025. O valor crítico é
t_{1-\alpha/2}(24)=t_{0,975}(24)\approx 2,064.

Passo 3

Calculamos o erro padrão da média (standard error):
\text{SE} = \frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{0,5}{\sqrt{25}} = 0,1\\ (\text{kg}).
O erro máximo da estimativa (margem de erro) é
E = t_{0,975}(24)\times \text{SE} = 2,064 \times 0,1 = 0,2064\\ (\text{kg}).

Passo 4

O intervalo de confiança para \mu é dado por \bar x \pm E, isto é,
19 \pm 0,2064,
que resulta em
(19 - 0,2064,\;19 + 0,2064) = (18,7936,\;19,2064).

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para o novo peso médio é aproximadamente
(18,79\;\text{kg},\;19,21\;\text{kg}).

Exercícios relacionados