Suponha que uma variável aleatória tenha distribuição normal com desvio padrão conhecido igual a 2. Determine o tamanho n da amostra que é necessário obter para garantir um intervalo de confiança para a média de raio 1 (isto é, |\bar{X}-\mu|=1 ) e coeficiente de confiança igual a 95 \%.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma variável normal com desvio padrão conhecido \sigma=2. Queremos escolher o tamanho da amostra n de modo que um intervalo de confiança de 95 % para a média tenha raio (erro máximo) igual a 1, ou seja,
|\bar X - \mu| \le 1.
O conteúdo aqui é intervalo de confiança para a média com variância conhecida, usando a distribuição normal padrão.

Passo 2

Para um nível de confiança de 95 %, o nível de significância é
\alpha = 1 - 0{,}95 = 0{,}05,
e a cauda superior é \alpha/2 = 0{,}025. O quantil correspondente da normal padrão é
z_{1-\alpha/2} = z_{0{,}975} = 1{,}96.

Passo 3

O raio do intervalo de confiança (erro máximo) é dado por
E = z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui queremos E = 1. Logo, basta resolver
1 = 1{,}96 \,\frac{2}{\sqrt{n}}.

Passo 4

Isolando \sqrt{n} e depois n, temos
\sqrt{n} = 1{,}96 \times 2,
n = \bigl(1{,}96 \times 2\bigr)^{2} = (3{,}92)^{2} = 15{,}3664.

Passo 5

Como n deve ser inteiro e queremos garantir que o erro seja no máximo 1, arredondamos para cima:
n = 16.

Resposta

n = 16

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