A equação de uma circunferência é (x+2)^2+(y-3)^2=5. Determinar a equação da reta tangente à circunferência que passa pelo ponto P0=(3,3) (duas soluções).

Passo 1

O enunciado dá a circunferência
(x+2)^2+(y-3)^2=5
cujo centro é C=(-2,3) e o raio é r=raiz5. Queremos as retas tangentes a essa circunferência que passam por P0=(3,3). Para isso, vamos usar a forma geral da reta com coeficiente angular m e a condição de distância do centro ao reta igual ao raio.

Passo 2

Como a reta passa por P0=(3,3), escrevemos sua equação na forma ponto-declive:
y-3 = m(x-3)
Isolando em forma explícita, temos
y = m x + b,
onde, ao substituir (x,y)=(3,3),
b = 3 - 3m

Passo 3

A reta y = m x + b em forma geral é
-mx + y - b = 0
Os coeficientes são A=-m, B=1, C=-b. A condição de tangência é que a distância do centro C=(-2,3) à reta seja igual a r=raiz5:
l|A xC + B yC + Cr|raizA^2 + B^2 =raiz5
Substituindo A,B,C e b=3-3m:
l|-mcdot(-2)+1cdot3 - (3-3m)r|raiz(-m)^2+1^2 =raiz5 Longrightarrow lvert 2m+3-3+3mrvertraizm^2+1 =raiz5 Longrightarrow lvert5mrvertraizm^2+1 =raiz5

Passo 4

Elevando ambos os lados ao quadrado:
25m^2m^2+1=5 Longrightarrow 25m^2=5(m^2+1) Longrightarrow 20m^2=5 Longrightarrow m^2=14 Longrightarrow m=pm12

Passo 5

Para cada m calculamos b=3-3m:
  • Se m=+tfrac12, então b=3-tfrac32=tfrac32.
  • Se m=-tfrac12, então b=3+ tfrac32=tfrac92.
    Logo as duas retas são
y=12x+32 e y=-12x+92

Resposta

As retas tangentes são
boxedy=12x+32 e boxedy=-12x+92

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