Encontrar a equação da elipse cujos focos se encontram sobre o eixo das abscissas e sabendo que:
Determine a equação da elipse que satisfaz as condições dadas:
seu eixo menor é 10 e a excentricidade é e=\frac{12}{13};

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse com focos sobre o eixo das abscissas, com eixo menor medindo 10 e excentricidade e = \tfrac{12}{13}. Sabendo que a forma canônica de uma elipse horizontal é
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,
onde 2b é o eixo menor e e = \frac{c}{a} com c a distância do centro a cada foco, vamos usar essas relações para determinar a, b e c.

Passo 2

Da definição de excentricidade temos
e = \frac{c}{a}
logo
c = e\,a = \frac{12}{13}\,a.

Passo 3

Também sabemos que, em elipse,
b^2 = a^2 - c^2.
Substituindo c = \tfrac{12}{13}a obtemos
b^2 = a^2 - \Bigl(\tfrac{12}{13}a\Bigr)^2 = a^2\Bigl(1 - \tfrac{144}{169}\Bigr) = a^2\cdot \tfrac{25}{169},
ou seja
b = \frac{5}{13}\,a.

Passo 4

Como o eixo menor vale 2b = 10, concluímos que
b = 5.
Da relação b = \tfrac{5}{13}a segue
5 = \frac{5}{13}\,a \quad\Longrightarrow\quad a = 13.

Passo 5

Com a = 13 e b = 5 a equação da elipse fica
\frac{x^2}{13^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{25} = 1.

Resposta

\frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{25} = 1

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