Seja C: a x^{2}+b x y+c y^{2}+d x+e y+f=0 uma cônica num plano \pi com um sistema ortogonal de coordenadas \Sigma. Suponha que a=c. Por qual ângulo devemos rotacionar o sistema de coordenadas (no sentido anti-horário) para eliminar o termo quadrático misto?

Passo 1

O enunciado dá a cônica
a x^{2} + b x y + c y^{2} + d x + e y + f = 0
com a = c e pede o ângulo \theta (rotação anti-horária) que anula o termo misto xy.

Passo 2

Em coordenadas rotacionadas
\begin{cases} x = X\cos\theta - Y\sin\theta,\\\ y = X\sin\theta + Y\cos\theta, \end{cases}
os coeficientes quadráticos transformam-se em
A'X^2 + B'XY + C'Y^2,
onde
B' = (c - a)\,\sin2\theta + b\,\cos2\theta.
Para eliminar o termo misto basta impor B'=0.

Passo 3

Como a = c, tem-se c - a = 0 e portanto
B' = b\,\cos2\theta = 0.
Isso exige
\cos2\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad\Longrightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2},\;k\in\mathbb{Z}.
A menor rotação anti-horária não-trivial é
\theta = \frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \theta = \frac{\pi}{4} (ou, de modo geral, \theta=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}).

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