Encontrar uma equação da elipse com focos nos vértices da hipérbole
e vértices nos focos dessa hipérbole:
Passo 1
O enunciado dá a hipérbole
que é do tipo vertical
. Precisamos achar uma elipse centrada na origem com eixos alinhados, cujos focos coincidem com os vértices dessa hipérbole e cujos vértices coincidem com os focos da mesma hipérbole. Vamos usar as fórmulas:
– Para a hipérbole vertical, ,
e os focos ficam em
com
.
– Para a elipse vertical, se é o semieixo maior (no eixo
) e
a distância dos focos ao centro, vale
– Para a hipérbole vertical,
– Para a elipse vertical, se
e a equação é
Passo 2
Calcular
,
e
da hipérbole:
Logo os vértices da hipérbole são
e os focos são
.
Passo 3
Na elipse procurada:
- Os focos devem ser os vértices da hipérbole, isto é,
. Então
- Os vértices da elipse devem ser os focos da hipérbole, isto é,
. Como são vértices no eixo , temos
E verifica-se
, como deve ser.
Passo 4
Determinar
da elipse:
Portanto a equação da elipse é
ou ainda