Encontrar uma equação da elipse com focos nos vértices da hipérbole y^24-x^25=1 e vértices nos focos dessa hipérbole:
9 x^2+5 y^2-45=0

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
y^24-x^25=1
que é do tipo vertical y^2/a^2-x^2/b^2=1. Precisamos achar uma elipse centrada na origem com eixos alinhados, cujos focos coincidem com os vértices dessa hipérbole e cujos vértices coincidem com os focos da mesma hipérbole. Vamos usar as fórmulas:
– Para a hipérbole vertical, ah^2=4, bh^2=5 e os focos ficam em (0,pm ch) com ch^2=ah^2+bh^2.
– Para a elipse vertical, se ae é o semieixo maior (no eixo y) e ce a distância dos focos ao centro, vale
ce^2=ae^2-be^2
e a equação é
x^2be^2+y^2ae^2=1

Passo 2

Calcular ah, bh e ch da hipérbole:
ah=raiz4=2, bh=raiz5, ch=raizah^2+bh^2=raiz4+5=3
Logo os vértices da hipérbole são (0,pm2) e os focos são (0,pm3).

Passo 3

Na elipse procurada:
  • Os focos devem ser os vértices da hipérbole, isto é, (0,pm2). Então
ce=2
  • Os vértices da elipse devem ser os focos da hipérbole, isto é, (0,pm3). Como são vértices no eixo y, temos
ae=3
E verifica-se ae>ce, como deve ser.

Passo 4

Determinar be da elipse:
be^2=ae^2-ce^2=3^2-2^2=9-4=5
Portanto a equação da elipse é
x^2be^2+y^2ae^2 =x^25+y^29=1,
ou ainda
9x^2+5y^2-45=0

Resposta

9x^2+5y^2-45=0

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