(Versão 1) Questão 11 ( \mathbf{2 , 5} pts). Um estudante vai ao laboratório e utiliza uma massa m= (52,00 \pm 0,01) g para o pêndulo simples e retira as seguintes medidas de período T em função do comprimento de fio L, como mostra a tabela abaixo:
(L \pm 0,05) c m (T \pm 0,01) s
50,00 1,46
60,00 1,58
70,00 1,71
80,00 1,83
90,00 1,93

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
"JÚLIO DE MESQUITA FILHO"
Campus de Ilha Solteira
Departamento de Física e Química

Questões para Prova 1

Disciplina: Laboratório de física II
Professor: Me. Lucas da Silveira Buzo
Plote no papel milimetrado o gráfico T^{2} x L. Mostre como podemos calcular o valor da aceleração da gravidade g via gráfico, calcule este valor e compare via erro percentual com o valor teórico g=9,80 \frac{m}{s^{2}}.
OBS: Considere duas casas depois da vírgula para o cálculo do erro percentual.
Adote:
E_{\%}=\frac{\left|g_{t e}-g_{\exp }\right|}{g_{t e}} \times 100 \%

Passo 1

O enunciado pede que eu faça o gráfico de T^{2} em função de L, use esse gráfico para calcular a aceleração da gravidade g e compare com o valor teórico g=9,80\\ \mathrm{m/s^{2}} calculando o erro percentual com duas casas decimais. Dados fornecidos (extraídos da tabela do enunciado):
\begin{array}{lcl} (L\pm 0,05)\\ \mathrm{cm} & & (T\pm 0,01)\\ \mathrm{s} \\\ \hline 50{,}00 & & 1{,}46\\\\ 60{,}00 & & 1{,}58\\\\ 70{,}00 & & 1{,}71\\\\ 80{,}00 & & 1{,}83\\\\ 90{,}00 & & 1{,}93 \end{array}
Informações relevantes que vou usar:
\begin{aligned} &\text{cada }L\text{ está em centímetros com incerteza }0{,}05\\ \mathrm{cm},\\\ &\text{cada }T\text{ está em segundos com incerteza }0{,}01\\ \mathrm{s}. \end{aligned}áíá

Passo 2

Teoria e relação que liga T^{2} e L. Para um pêndulo simples, para pequenas oscilações:
T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}.
Elevando ao quadrado obtemos uma relação linear entre T^{2} e L:
T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{g}\,L.
Aqui cada símbolo significa:
\begin{aligned} &T\\ \text{: período (s)},\\\ &L\\ \text{: comprimento do fio (m)},\\\ &g\\ \text{: aceleração da gravidade (m/s^{2)}},\\\ &4\pi^{2}\\ \text{: constante numérica } \approx 39{,}4784. \end{aligned}íçãé
Logo, no gráfico de \,T^{2} (eixo vertical) versus L (eixo horizontal) eu espero uma reta passando pela origem (idealmente) com declive (coeficiente angular) igual a
m=\dfrac{4\pi^{2}}{g}.
Portanto, ao medir a inclinação m do gráfico eu consigo calcular
g=\dfrac{4\pi^{2}}{m}.

Passo 3

Conversão de unidades e cálculo de T^{2}. Primeiro passo prático: passar L para metros e calcular T^{2} a partir dos T dados.
Conversão:
\begin{aligned} &50{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}5000\\ \mathrm{m},\\\ &60{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}6000\\ \mathrm{m},\\\ &70{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}7000\\ \mathrm{m},\\\ &80{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}8000\\ \mathrm{m},\\\ &90{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}9000\\ \mathrm{m}. \end{aligned}
Cálculo de T^{2} (mostro conta para cada um):
\begin{aligned} &T=1{,}46\\ \mathrm{s}\Rightarrow T^{2}=1{,}46^{2}=2{,}1316\\ \mathrm{s^{2}},\\\ &T=1{,}58\\ \mathrm{s}\Rightarrow T^{2}=1{,}58^{2}=2{,}4964\\ \mathrm{s^{2}},\\\ &T=1{,}71\\ \mathrm{s}\Rightarrow T^{2}=1{,}71^{2}=2{,}9241\\ \mathrm{s^{2}},\\\ &T=1{,}83\\ \mathrm{s}\Rightarrow T^{2}=1{,}83^{2}=3{,}3489\\ \mathrm{s^{2}},\\\ &T=1{,}93\\ \mathrm{s}\Rightarrow T^{2}=1{,}93^{2}=3{,}7249\\ \mathrm{s^{2}}. \end{aligned}
(Se fosse necessário, a incerteza em T^{2} pode ser aproximada por \Delta(T^{2})\approx 2T\,\Delta T, pois \Delta T foi dado.)

Passo 4

Escolha do método para obter a inclinação do gráfico. O enunciado pede para “plotar no papel milimetrado” e obter g via gráfico: isso equivale a determinar a inclinação da melhor reta que ajusta os pontos (L_i,T^{2}_i). Vou usar o método dos mínimos quadrados (ajuste linear) para obter com precisão a inclinação m. A fórmula do coeficiente angular pelo método dos mínimos quadrados é:
m=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(L_{i}-\overline{L})(T^{2}_{i}-\overline{T^{2}})}{\sum_{i=1}^{n}(L_{i}-\overline{L})^{2}},
onde
\overline{L}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}L_{i},\qquad \overline{T^{2}}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}T^{2}_{i}.

Passo 5

Cálculo numérico das médias e dos somatórios (mostro cada conta). Tenho n=5 pontos.
Média de L:
\overline{L}=\dfrac{0{,}5000+0{,}6000+0{,}7000+0{,}8000+0{,}9000}{5}=0{,}7000\\ \mathrm{m}.
Média de T^{2}:
\overline{T^{2}}=\dfrac{2{,}1316+2{,}4964+2{,}9241+3{,}3489+3{,}7249}{5}=2{,}92518\\ \mathrm{s^{2}}.
Agora calculo os produtos (L_{i}-\overline{L})(T^{2}_{i}-\overline{T^{2}}) e (L_{i}-\overline{L})^{2} para cada ponto:
\begin{aligned} i=1:&\quad (L-\overline{L})=-0{,}2000,\quad (T^{2}-\overline{T^{2}})=-0{,}79358,\quad \text{produto}=0{,}158716,\\\ i=2:&\quad (L-\overline{L})=-0{,}1000,\quad (T^{2}-\overline{T^{2}})=-0{,}42878,\quad \text{produto}=0{,}042878,\\\ i=3:&\quad (L-\overline{L})=0{,}0000,\quad (T^{2}-\overline{T^{2}})=-0{,}00108,\quad \text{produto}=0{,}000000,\\\ i=4:&\quad (L-\overline{L})=0{,}1000,\quad (T^{2}-\overline{T^{2}})=0{,}42372,\quad \text{produto}=0{,}042372,\\\ i=5:&\quad (L-\overline{L})=0{,}2000,\quad (T^{2}-\overline{T^{2}})=0{,}79972,\quad \text{produto}=0{,}159944. \end{aligned}
Somatórios:
\sum (L_{i}-\overline{L})(T^{2}_{i}-\overline{T^{2}})=0{,}40391, \qquad \sum (L_{i}-\overline{L})^{2}=0{,}10.

Passo 6

Cálculo da inclinação m com os valores obtidos:
m=\dfrac{0{,}40391}{0{,}10}=4{,}0391\\ \mathrm{s^{2}/m}.
Interpretação: a reta de ajuste é aproximadamente T^{2}=4{,}0391\,L+b. O coeficiente angular tem unidade \mathrm{s^{2}/m}.
Cálculo do coeficiente linear (ordem na origem) para completar o ajuste:
b=\overline{T^{2}}-m\,\overline{L}=2{,}92518-4{,}0391\cdot0{,}7000=0{,}09781\\ \mathrm{s^{2}}.
(Em um gráfico ideal a reta passaria por b=0, mas medidas experimentais geram pequeno offset.)

Passo 7

Cálculo de g a partir da inclinação. Lembrando m=\dfrac{4\pi^{2}}{g}, então
g=\dfrac{4\pi^{2}}{m}.
Substituindo m=4{,}0391:
g=\dfrac{4\pi^{2}}{4{,}0391}=\dfrac{39{,}4784176\ldots}{4{,}0391}\approx 9{,}774\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando razoavelmente: g_{\exp}\approx 9{,}77\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 8

Estimativa da incerteza em m (explicando como obter confiança no ajuste) e propagação para \Delta g. Vou calcular o erro padrão da inclinação pelo procedimento padrão de regressão linear:
  1. calcular a soma dos quadrados dos resíduos:
S_{\mathrm{res}}=\sum_{i=1}^{n}\big(T^{2}_{i}-(mL_{i}+b)\big)^{2}\approx 0{,}00128065\\ \mathrm{s^{4}}.
  1. estimador da variância dos resíduos:
s^{2}=\dfrac{S_{\mathrm{res}}}{n-2}=\dfrac{0{,}00128065}{3}=0{,}000426883\\ \mathrm{s^{4}}.
  1. erro padrão da inclinação:
\Delta m = s_{m}=\sqrt{\dfrac{s^{2}}{\sum (L_{i}-\overline{L})^{2}}} =\sqrt{\dfrac{0{,}000426883}{0{,}10}}\approx 0{,}0653\\ \mathrm{s^{2}/m}.
Assim m=4{,}0391\pm 0{,}0653\\ \mathrm{s^{2}/m}.
Propagação para \Delta g. Como g=4\pi^{2}/m, para pequenas incertezas:
\Delta g \approx \left|\dfrac{\partial g}{\partial m}\right|\Delta m = \dfrac{4\pi^{2}}{m^{2}}\,\Delta m = g\cdot \dfrac{\Delta m}{m}.
Substituindo números:
\Delta g \approx 9{,}774\cdot\dfrac{0{,}0653}{4{,}0391}\approx 0{,}158\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Portanto posso escrever
g_{\exp}=9{,}77\pm 0{,}16\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 9

Cálculo do erro percentual em relação ao valor teórico g_{\text{te}}=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}. A fórmula dada é
E_{\%}=\dfrac{|g_{\text{te}}-g_{\exp}|}{g_{\text{te}}}\times 100\%.
Substituindo g_{\exp}=9{,}774 e g_{\text{te}}=9{,}80:
E_{\%}=\dfrac{|9{,}80-9{,}774|}{9{,}80}\times100\% =\dfrac{0{,}026}{9{,}80}\times100\%\approx 0{,}2653\%\approx 0{,}27\%.
Observação de interpretação: o erro percentual é bem pequeno ( 0{,}27\%), e como a incerteza experimental em g é cerca de 0{,}16\\ \mathrm{m/s^{2}} (ou \sim1{,}6\% relativo), o valor teórico 9{,}80 está dentro da faixa de incerteza do experimento.

Resposta

g_{\exp}=9{,}77\pm 0{,}16\\ \mathrm{m/s^{2}}
E_{\%}=0{,}27\%

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