Encontrar a equação da hipérbole cujos focos estão no eixo X e são simétricos com respeito ao origem, sabendo que
passa pelo ponto P1=(92,-1) e as assíntotas são
y= pm 23 x

Passo 1

O enunciado pede a hipérbole com centro na origem, eixos alinhados com os eixos coordenados (pois os focos estão sobre o eixo X e são simétricos em relação à origem), que passa por P1=l(tfrac92,-1r) e tem assíntotas
y=pm23x
Vamos usar a forma canônica
x^2a^2-y^2b^2=1
e as relações entre a,b e os dados.

Passo 2

Para essa hipérbole horizontal os focos são (pm c,0) com
;c^2=a^2+b^2,
e as assíntotas são
;y=pmba,x

Passo 3

Como as assíntotas dadas têm coeficiente angular pm23, impõe-se
ba=23 Longrightarrow b=23,a Longrightarrow b^2=49,a^2

Passo 4

A hipérbole passa por P1=l(tfrac92,-1r), então
l(tfrac92r)^2a^2 -(-1)^2b^2 =1
Substituindo b^2=tfrac49a^2, obtemos
tfrac814a^2 -1tfrac49a^2 =1 ;Longrightarrow; 814a^2-94a^2=1 ;Longrightarrow; 724a^2=1

Passo 5

Da igualdade tfrac724a^2=1 segue
724a^2=1 Longrightarrow a^2=18
Logo
b^2=49,a^2=49times18=8

Passo 6

Com a^2=18 e b^2=8, a equação da hipérbole é
boxedx^218-y^28=1

Resposta

x^218-y^28=1

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