Encontrar a equação da hipérbole cujos focos estão no eixo X e são simétricos com respeito ao origem, sabendo que
passa pelos pontos P1=(6,-1) e P2=(-8,2 raiz2);

Passo 1

O enunciado pede a hipérbole com focos em (pm c,0), simétrica em relação à origem, que passa por P1=(6,-1) e P2=(-8,2raiz2). O conteúdo é a forma canônica de hipérbole horizontal centrada na origem,
x^2a^2-y^2b^2=1,
sendo c^2=a^2+b^2. Vamos achar a^2 e b^2.

Passo 2

Chamamos A=a^2 e B=b^2. Assim a equação vira
x^2A-y^2B=1,
e basta impor que P1 e P2 satisfaçam essa relação.

Passo 3

Para P1=(6,-1) temos
6^2A-(-1)^2B=1 Longrightarrow 36A-1B=1
Para P2=(-8,2raiz2) temos y^2=8, logo
(-8)^2A-8B=1 Longrightarrow 64A-8B=1

Passo 4

Resolvendo o sistema
36A-1B=1, 64A-8B=1,
multiplicamos a primeira por 8:
288A-8B=8,
e subtraímos da segunda:
288-64A=7 Rightarrow 224A=7 Rightarrow A=32
Então, de 36A-1B=1:
3632-1B=1 Rightarrow 98-1B=1 Rightarrow 1B=18 Rightarrow B=8

Resposta

x^232-y^28=1

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