Provar que o produto das distâncias de qualquer ponto da hipérbole
x^2a^2-y^2b^2=1
a sus assíntotas é igual a
a^2 b^2a^2+b^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para qualquer ponto (x,y) da hipérbole
x^2a^2-y^2b^2=1,
o produto das distâncias desse ponto às duas assíntotas vale
a^2b^2a^2+b^2
O conteúdo que vamos usar é geometria analítica: equações das assíntotas e fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

As assíntotas da hipérbole x^2a^2-y^2b^2=1 são as retas
y = ba,x e y = -ba,x
Em forma geral Ax+By+C=0 ficam
b,x - a,y = 0 e b,x + a,y = 0

Passo 3

A distância de um ponto (x,y) à reta Ax+By+C=0 é
d = l|A,x + B,y + Cr|raizA^2+B^2

Passo 4

Aplicando ao primeiro assíntota b,x - a,y=0, temos
d1 = l|b,x - a,yr|raizb^2+(-a)^2 = l|b,x - a,yr|raiza^2+b^2
Para a segunda b,x + a,y=0,
d2 = l|b,x + a,yr|raiza^2+b^2

Passo 5

O produto das distâncias é
d1,d2 = l|b,x - a,yr|;l|b,x + a,yr|a^2+b^2 = l|,b^2x^2-a^2y^2r|a^2+b^2

Passo 6

Como (x,y) está na hipérbole, vale
x^2a^2-y^2b^2=1 ;Longrightarrow; b^2x^2-a^2y^2a^2b^2=1 ;Longrightarrow; b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2
Logo
l|,b^2x^2-a^2y^2r|=a^2b^2

Resposta

d1,d2 = a^2b^2a^2+b^2

Exercícios relacionados