Nos problemas a seguir, resolva as EDO’s de Cauchy-Euler para encontrar as soluções homogeneas. Para as EDO’s não homogêneas, use variação de paràmetros para obter uma solução particular.
x^{2} y^{m}-3 x y^{\prime}+3 y=2 x^{4} c^{x}

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO de Euler não homogênea
x^{2}y''-3x\,y'+3y = 2x^{4}c^{x},
onde c>0 é constante. Vamos primeiro achar a solução homogênea usando o método de equação de Cauchy–Euler e depois aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos y_h=x^{m}. Substituindo em
x^{2}y''-3x\,y'+3y=0
obtém-se a equação característica
m(m-1)-3m+3=0\quad\Longrightarrow\quad m^{2}-4m+3=0,
cuja raízes são
m=1,\quad m=3.
Logo
y_h = C_{1}\,x + C_{2}\,x^{3}.

Passo 3

Para usar variação de parâmetros, reescrevemos a EDO dividindo por x^{2}:
y'' - \frac{3}{x}y' + \frac{3}{x^{2}}y = 2x^{2}c^{x}.
Aqui P(x)=-3/x, Q(x)=3/x^{2} e o termo não homogêneo é R(x)=2x^{2}c^{x}.

Passo 4

Tomamos as soluções fundamentais y_{1}=x e y_{2}=x^{3}. O Wronskiano vale
W = \begin{vmatrix} x & x^{3}\\\\ 1 & 3x^{2} \end{vmatrix} = x\cdot3x^{2} - x^{3}\cdot1 = 2x^{3}.

Passo 5

As fórmulas de variação de parâmetros dão
u_{1}' = -\frac{y_{2}\,R}{W} ,\qquad u_{2}' = \frac{y_{1}\,R}{W}.
Substituindo y_{1},y_{2},R,W:
u_{1}' = -\frac{x^{3}\cdot2x^{2}c^{x}}{2x^{3}} = -x^{2}c^{x},
u_{2}' = \frac{x\cdot2x^{2}c^{x}}{2x^{3}} = c^{x}.

Passo 6

Integramos para achar u_{1} e u_{2}. Seja a=\ln c. Então
u_{2} = \int c^{x}\,dx = \int e^{ax}\,dx = \frac{e^{ax}}{a} = \frac{c^{x}}{\ln c}.
E
u_{1} = -\int x^{2}e^{ax}\,dx.
Usando a integral por partes ou a fórmula padrão,
\int x^{2}e^{ax}dx = e^{ax}\Bigl(\frac{x^{2}}{a}-\frac{2x}{a^{2}}+\frac{2}{a^{3}}\Bigr).
Logo
u_{1} = -e^{ax}\Bigl(\frac{x^{2}}{a}-\frac{2x}{a^{2}}+\frac{2}{a^{3}}\Bigr) = -c^{x}\Bigl(\frac{x^{2}}{\ln c}-\frac{2x}{(\ln c)^{2}}+\frac{2}{(\ln c)^{3}}\Bigr).

Passo 7

A solução particular é
y_{p} = u_{1}y_{1} + u_{2}y_{2} = x\,u_{1} + x^{3}\,u_{2}.
Substituindo u_{1} e u_{2}:
y_{p} = -x\,c^{x}\Bigl(\frac{x^{2}}{a}-\frac{2x}{a^{2}}+\frac{2}{a^{3}}\Bigr) + x^{3}\,\frac{c^{x}}{a}.
Agrupando termos e cancelando x^{3}/a:
y_{p} = c^{x}\Bigl(-\frac{x^{3}}{a}+\frac{2x^{2}}{a^{2}}-\frac{2x}{a^{3}}+\frac{x^{3}}{a}\Bigr) = c^{x}\Bigl(\frac{2x^{2}}{a^{2}}-\frac{2x}{a^{3}}\Bigr) = \frac{2x\,c^{x}}{(\ln c)^{3}}\bigl(x\ln c-1\bigr).

Passo 8

A solução geral da EDO é
y = y_{h} + y_{p} = C_{1}x + C_{2}x^{3} + \frac{2x\,c^{x}}{(\ln c)^{3}}\bigl(x\ln c - 1\bigr).

Resposta

y = C_{1}x + C_{2}x^{3} + \frac{2x\,c^{x}}{(\ln c)^{3}}\bigl(x\ln c - 1\bigr).

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