Seja a parábola P: y^2=4 x. Determine o valor do coeficiente angular k da reta rk: y-x k=2 de modo que:
(a) P cap rk tenha dois pontos distintos;
(b) P cap rk tenha exatamente um ponto; nesse caso rk é tangente a P;
(c) P cap rk=emptyset.

Passo 1

O enunciado dá a parábola P:y^2=4x e a família de retas
rk:;y - kx = 2,
isto é, y = kx + 2. Queremos estudar quantos pontos de interseção ocorrem em função de k. Para isso, basta substituir y em P e analisar o número de soluções da equação em x.

Passo 2

Substituindo y = kx+2 em y^2=4x obtemos
(kx+2)^2 ;=;4x
Expandindo e recolhendo termos em x, vem
k^2x^2 +4kx +4 ;-;4x ;=;0 Longrightarrow k^2x^2 + (4k-4)x +4 = 0

Passo 3

Para kneq0, trata-se de uma equação quadrática em x. Seu discriminante é
De<a ;=;(4k-4)^2 ;-;4cdot k^2cdot4 ;=;16l((k-1)^2-k^2r) ;=;16(1-2k)
  • Se De<a>0, há duas raízes reais distintas Rightarrow dois pontos de interseção.
  • Se De<a=0, há uma raiz dupla Rightarrow exatamente um ponto (retas tangentes).
  • Se De<a<0, não há raiz real Rightarrow sem interseção.

Passo 4

Da condição De<a=16(1-2k):
1-2k>0 ;Long<=ftrightarrow; k<tfrac12, 1-2k=0 ;Long<=ftrightarrow; k=tfrac12, 1-2k<0 ;Long<=ftrightarrow; k>tfrac12
Assim, para kneq0:
k < tfrac12&duas interseções, k = tfrac12&uma interseção (tan>=nte), k > tfrac12&nenhuma interseção çõçãçã

Passo 5

Falta examinar k=0. Nesse caso a reta é y=2 e, na parábola,
y^2=4x;Longrightarrow;4=4x;Longrightarrow;x=1,
há exatamente um ponto (1,2). Logo k=0 também dá tangência.

Resposta

(a) Dois pontos distintos se k<tfrac12 e kneq0.
(b) Exatamente um ponto se k=tfrac12 ou k=0.
(c) Nenhum ponto se k>tfrac12.

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