Seja a parábola . Determine o valor do coeficiente angular k da reta de modo que:
(a) tenha dois pontos distintos;
(b) tenha exatamente um ponto; nesse caso é tangente a ;
(c) .
Passo 1
O enunciado dá a parábola e a família de retas
isto é, . Queremos estudar quantos pontos de interseção ocorrem em função de . Para isso, basta substituir em e analisar o número de soluções da equação em .
Passo 2
Substituindo em obtemos
Expandindo e recolhendo termos em , vem
Passo 3
Para , trata-se de uma equação quadrática em . Seu discriminante é
Se , há duas raízes reais distintas dois pontos de interseção.
Se , há uma raiz dupla exatamente um ponto (retas tangentes).
Se , não há raiz real sem interseção.
Passo 4
Da condição :
Assim, para :
Passo 5
Falta examinar k=0. Nesse caso a reta é y=2 e, na parábola,
y^2=4x;Longrightarrow;4=4x;Longrightarrow;x=1,
há exatamente um ponto (1,2). Logo k=0 também dá tangência.
Resposta
(a) Dois pontos distintos se k<tfrac12 e kneq0.
(b) Exatamente um ponto se k=tfrac12 ou k=0.
(c) Nenhum ponto se k>tfrac12.