Encontrar os extremos locais das funções seguintes:
(d) ,(x, y) in]-12, 12[times]-12, 12[ para todo .

Passo 1

O enunciado: temos f(x,y)=x{2}+y{2}+\cos(x{2}+y{2}) definida em (-½,½)×(-½,½). Queremos encontrar os extremos locais usando gradiente e Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais. Note que t=x{2}+y{2}. Em bloco:
[
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-2x\sin(t)=2x(1-\sin(t)), \quad \frac{\partial f}{\partial y}=2y(1-\sin(t)).
]

Passo 3

Para pontos críticos igualamos as derivadas a zero: 2x(1−\sin(t))=0 e 2y(1−\sin(t))=0. Como no domínio t=x{2}+y{2} está em [0,0.5), não há solução para 1−\sin(t)=0. Logo a única opção é x=0 e y=0.

Passo 4

Agora calculamos a Hessiana em (0,0). As segundas derivadas são:
[
f_{xx}=2(1-\sin(t))-4x^{2}\cos(t), \quad f_{yy}=2(1-\sin(t))-4y^{2}\cos(t), \quad f_{xy}=-4xy\cos(t).
]
Em (0,0) temos t=0, \sin(0)=0, \cos(0)=1, então f_{xx}=2, f_{yy}=2, f_{xy}=0. A Hessiana é 2I, positiva definida.

Passo 5

Como só existe esse ponto crítico e a Hessiana é positiva definida, (0,0) é um mínimo local. Não há outros pontos críticos, portanto nenhum máximo interno.

Resposta

O único extremo local é um mínimo em (0,0).

Exercícios relacionados