Guestão 17. Calcule as integrais abaixo:
onde
é o círculo
orientado positivamente;
Passo 1
Estamos calculando a integral de contorno
sobre o círculo unitário. O conteúdo essencial aqui é o Teorema dos Resíduos e a expansão em série de Laurent de funções com pólos. Vamos precisar encontrar o coeficiente do termo
na expansão de
.
Passo 2
De acordo com o Teorema dos Resíduos, se
é meromorfa dentro e sobre um contorno fechado
, então
No nosso caso só há singularidade em
dentro de
, então a integral será
vezes o resíduo de
em
.
Passo 3
Para achar o resíduo, fazemos a expansão de
em série de Laurent. Lembrando que
então com
temos
Passo 4
Multiplicando por
, obtemos
Para achar o resíduo precisamos do coeficiente de
, ou seja, resolver
. Isso dá
, e o coeficiente correspondente é
Passo 5
Portanto, o resíduo em
é
. Usando o Teorema dos Resíduos: