Guestão 17. Calcule as integrais abaixo:
C onde |z|=1 é o círculo orientado positivamente;

Passo 1

Estamos calculando a integral de contorno
integral|z|=1 z^2 sinl(tfrac1zr),dz
sobre o círculo unitário. O conteúdo essencial aqui é o Teorema dos Resíduos e a expansão em série de Laurent de funções com pólos. Vamos precisar encontrar o coeficiente do termo z^-1 na expansão de z^2 sin(1/z).

Passo 2

De acordo com o Teorema dos Resíduos, se f(z) é meromorfa dentro e sobre um contorno fechado C, então
integralC f(z),dz = 2pi i sum Res(f; pólos em C) ó
No nosso caso só há singularidade em z=0 dentro de |z|=1, então a integral será 2pi i vezes o resíduo de z^2sin(1/z) em 0.

Passo 3

Para achar o resíduo, fazemos a expansão de sin(1/z) em série de Laurent. Lembrando que
sin w = sumn=0^infty (-1)^n w^2n+1(2n+1)!,
então com w = 1/z temos
sinl(tfrac1zr) = sumn=0^infty (-1)^n 1(2n+1)!1z^2n+1

Passo 4

Multiplicando por z^2, obtemos
z^2 sinl(tfrac1zr) = sumn=0^infty (-1)^n z^2-(2n+1)(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n z^1-2n(2n+1)!
Para achar o resíduo precisamos do coeficiente de z^-1, ou seja, resolver 1-2n=-1. Isso dá n=1, e o coeficiente correspondente é
(-1)^113! = -16

Passo 5

Portanto, o resíduo em z=0 é -tfrac16. Usando o Teorema dos Resíduos:
integral|z|=1 z^2 sinl(tfrac1zr),dz = 2pi i l(-16r) = -pi i3

Resposta

-pi i3

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