Mostre que a integral integralC F cdot d r com F=x j ao longo de uma curva fechada no plano x y com orientação positiva como no teorema de Green, dá como resultado a área da região envolvida pela curva.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de linha integralC vec Fcdot dvec r para vec F=x,vec j em uma curva fechada e positivamente orientada no plano xy é igual à área da região D delimitada por C. Vamos usar integrais de linha e o Teorema de Green.

Passo 2

Escrevemos a integral de linha no formato ointC P,dx + Q,dy. No nosso caso, vec F=(P,Q)=(0,x), logo
integralC vec Fcdot dvec r = ointC 0,dx + x,dy = ointC x,dy

Passo 3

O Teorema de Green diz que se C é fechada e positivamente orientada delimitando D, então
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA

Passo 4

Aqui temos partial Q/partial x = partial(x)/partial x = 1 e partial P/partial y = partial(0)/partial y = 0, logo o integrando é 1.
Aplicando o Teorema de Green obtemos
ointC x,dy = integral duplaD 1,dA,
e integral duplaD 1,dA é exatamente a área de D.

Resposta

A integral de linha integralC vec Fcdot dvec r vale integral duplaD 1,dA, isto é, a área da região delimitada por C.

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