Encontrar os extremos locais das funções seguintes:
(e)
para todo .
(e)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos locais da função f(x,y)=e^{x
sen(y)} definida em ℝ×(-π,2π). Vamos usar derivadas parciais para achar pontos críticos e depois classificar com a matriz Hessiana.
sen(y)} definida em ℝ×(-π,2π). Vamos usar derivadas parciais para achar pontos críticos e depois classificar com a matriz Hessiana.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais: f_x=e^{x
sen(y)}·sen(y) e f_y=e^{x
sen(y)}·x
cos(y). Para pontos críticos, igualamos f_x=0 e f_y=0.
sen(y)}·sen(y) e f_y=e^{x
sen(y)}·x
cos(y). Para pontos críticos, igualamos f_x=0 e f_y=0.
Passo 3
Da equação f_x=0 vem sen(y)=0 ⇒ y=0 ou y=π (em (-π,2π)). Em cada caso, como cos(y)≠0, da equação f_y=0 (x
cos(y)=0) segue x=0. Assim os pontos críticos são (0,0) e (0,π).
cos(y)=0) segue x=0. Assim os pontos críticos são (0,0) e (0,π).
Passo 4
As segundas derivadas são dadas por f_{xx}=e^{x
sen(y)}
sen^2(y), f_{xy}=e^{x
sen(y)}
cos(y)(x
sen(y)+1) e f_{yy}=e^{x
sen(y)}(x^2
cos^2(y)-x
sen(y)).
sen(y)}
sen^2(y), f_{xy}=e^{x
sen(y)}
cos(y)(x
sen(y)+1) e f_{yy}=e^{x
sen(y)}(x^2
cos^2(y)-x
sen(y)).
Passo 5
No ponto (0,0) temos f_{xx}=0, f_{xy}=1, f_{yy}=0, logo o discriminante D=f_{xx}
f_{yy}−(f_{xy})^2=−1<0, indicando ponto de sela.
f_{yy}−(f_{xy})^2=−1<0, indicando ponto de sela.
Passo 6
No ponto (0,π) temos f_{xx}=0, f_{xy}=-1, f_{yy}=0, novamente D=−1<0, também ponto de sela.
Resposta
Não há máximos nem mínimos locais. Os pontos críticos (0,0) e (0,π) são pontos de sela.