Guestão 17. Calcule as integrais abaixo:
integralC 5 z-2z(z-1) d z onde C é o círculo |z-2|=1 orientado positivamente;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integralC 5z-2z(z-1),dz
onde o contorno C é o círculo |z-2|=1 orientado positivamente. O conteúdo principal é o Teorema dos Resíduos, e vamos precisar identificar polos e verificar se eles ficam dentro de C.

Passo 2

Primeiro identificamos os polos da função integranda. A função
f(z)=5z-2z(z-1)
tem dois polos simples em z=0 e z=1, pois o denominador se anula nesses pontos.

Passo 3

Agora determinamos quais polos estão no interior do círculo |z-2|=1. Para isso calculamos as distâncias:
|0-2|=2>1, |1-2|=1
Logo, o polo em z=0 fica fora do contorno (pois 2>1) e o polo em z=1 fica exatamente sobre o contorno (pois 1=1).

Passo 4

Como há um polo em z=1 sobre o próprio contorno, a função não é analítica em toda a vizinhança de C. Assim não podemos aplicar diretamente o Teorema dos Resíduos nem Cauchy, e a integral não está bem definida no sentido usual.

Resposta

A integral não está definida, pois há um polo em z=1 sobre o contorno C e a função deixa de ser analítica em C.

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