Guestão 17. Calcule as integrais abaixo:
onde
é o círculo
orientado positivamente;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde o contorno C é o círculo
orientado positivamente. O conteúdo principal é o Teorema dos Resíduos, e vamos precisar identificar polos e verificar se eles ficam dentro de C.
Passo 2
Primeiro identificamos os polos da função integranda. A função
tem dois polos simples em
e
, pois o denominador se anula nesses pontos.
Passo 3
Agora determinamos quais polos estão no interior do círculo
. Para isso calculamos as distâncias:
Logo, o polo em
fica fora do contorno (pois 2>1) e o polo em
fica exatamente sobre o contorno (pois 1=1).
Passo 4
Como há um polo em
sobre o próprio contorno, a função não é analítica em toda a vizinhança de C. Assim não podemos aplicar diretamente o Teorema dos Resíduos nem Cauchy, e a integral não está bem definida no sentido usual.
Resposta
A integral não está definida, pois há um polo em z=1 sobre o contorno C e a função deixa de ser analítica em C.