Encontrar (se for possível) L e de forma que a função dada seja contínua:
Passo 1
O enunciado define uma função em três pedaços e quer que ela seja contínua em todo o domínio. O conteúdo aqui é continuidade de função definida por partes e vamos precisar verificar a igualdade dos limites laterais e do valor da função nos pontos de junção, que são x=1 e x=0.
Passo 2
Para garantir continuidade em x=1, igualamos o limite pela esquerda ao limite pela direita: limxto1^-f(x)=Lcdot1+M=L+M limxto1^+f(x)=1^2+1=2
Logo precisamos ter
L+M=2
Passo 3
Para continuidade em x=0, primeiro o valor pela direita é limxto0^+f(x)=Lcdot0+M=M
Pela esquerda temos
limxto0^-x^2-2x-3x^2=limxto0^-x(x-2)-3x^2=limxto0^--(x-2)3x
Quando x→0 esse quociente se comporta como 2/(3x) e, chegando por valores negativos de x, diverge para –∞, não sendo finito.
Passo 4
Como não existe limite finito de f(x) quando x→0⁻, não há como ajustar L e M para igualar esse limite ao valor M que definimos em x=0. Portanto não existe par (L,M) que torne f contínua em todo o domínio.
Resposta
Não existem valores de L e M que tornem f contínua em todo o domínio.