Encontrar a função de verossimilhança de
da amostra aleatória
de uma população
, quando:
tem distribuição de Poisson:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a função de verossimilhança $ L(x; \theta) $ para uma amostra aleatória $ (X_{1}, ···, X_{n}) $ onde cada $ X $ segue uma distribuição de Poisson com função de densidade $ f(x|\theta) = \frac{e^{-\theta} \theta^{x}}{x!} $, válida para $ x = 0,1,2,··· $ e $ \theta > 0 $. Então, vamos usar conhecimentos de estatística sobre verossimilhança e distribuições de probabilidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de verossimilhança. Ela representa a probabilidade de observarmos uma certa amostra de dados $ (X_{1}, ···, X_{n}) $ dado um parâmetro $ \theta $. Para amostras independentes, a verossimilhança é o produto das funções de densidade individuais.
No nosso caso, cada $ X_i $ segue uma distribuição de Poisson, então a função de verossimilhança $ L(x; \theta) $ é o produto das funções de densidade de cada $ X_i $.
Passo 3
Vamos escrever a função de verossimilhança para os $ n $ dados. Como as variáveis são independentes, podemos multiplicar as funções de densidade:
Substituindo a função de Poisson:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão. Podemos separar os termos que não dependem de $ i $ e aqueles que dependem:
Aqui, $ e^{-\theta} $ multiplicado por si mesmo $ n $ vezes dá $ e^{-n\theta} $, e $ \theta^{x_i} $ multiplicado por si mesmo resulta em $ \theta^{\sum x_i} $.
Passo 5
Finalmente, podemos escrever a função de verossimilhança de uma forma mais compacta:
Isso representa a verossimilhança da amostra $ (X_{1}, ···, X_{n}) $ para o parâmetro $ \theta $ na distribuição de Poisson.
Resposta
A função de verossimilhança é: