Fez-se uma pesquisa para determinar se há restrições, quanto ao sexo, na confiança que o povo deposita na polícia. Os resultados amostrais constam da tabela a seguir. Com o nível de 0,05 de significância, teste a afirmação de que não há tal restrição.

Confiança na Polícia

Muita Alguma Muito pouca <br> ou nenhuma
Homens 115 56 29
Mulheres 175 94 31
Com base em dados do Ministério da Justiça dos EUA e da Gallup Organization.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer saber se o gênero (homem ou mulher) influencia na confiança que as pessoas têm na polícia. Para isso, vamos usar um teste estatístico chamado Teste do Qui-Quadrado de Independência. Esse teste ajuda a verificar se duas variáveis categóricas estão relacionadas ou não. Aqui, nossas variáveis são Sexo e Nível de Confiança na Polícia.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer nossas hipóteses:
  • Hipótese Nula (H₀): Não há relação entre o sexo e a confiança na polícia. Ou seja, a confiança na polícia é independente do sexo.
  • Hipótese Alternativa (H₁): Há relação entre o sexo e a confiança na polícia. Ou seja, a confiança na polícia depende do sexo.

Passo 3

Agora, vamos montar a tabela de contingência com os dados fornecidos:
Muita Alguma Muito pouca ou nenhuma Total
Homens 115 56 29 200
Mulheres 175 94 31 300
Total 290 150 60 500
Para calcular as frequências esperadas ($ E $), usamos a fórmula:
E

Passo 4

Vamos calcular as frequências esperadas para cada célula:
  • Homens, Muita:
E = 200 times 290500 = 116
  • Homens, Alguma:
E = 200 times 150500 = 60
  • Homens, Muito pouca ou nenhuma:
E = 200 times 60500 = 24
  • Mulheres, Muita:
E = 300 times 290500 = 174
  • Mulheres, Alguma:
E = 300 times 150500 = 90
  • Mulheres, Muito pouca ou nenhuma:
E = 300 times 60500 = 36
Agora, nossa tabela com as frequências esperadas fica assim:
Muita Alguma Muito pouca ou nenhuma Total
Homens 116 60 24 200
Mulheres 174 90 36 300
Total 290 150 60 500

Passo 5

Vamos calcular o valor do qui-quadrado ($ \chi^2 $) usando a fórmula:
chi^2
onde $ O $ são os valores observados e $ E $ são os valores esperados.
Calculando para cada célula:
  • Homens, Muita:
chi^2 = sum (O - E)^2E
  • Homens, Alguma:
O
  • Homens, Muito pouca ou nenhuma:
E
  • Mulheres, Muita:
(115 - 116)^2116 = 1116 approx 0,0086
  • Mulheres, Alguma:
(56 - 60)^260 = 1660 approx 0,2667
  • Mulheres, Muito pouca ou nenhuma:
(29 - 24)^224 = 2524 approx 1,0417
Agora, somando todos os valores:
(175 - 174)^2174 = 1174 approx 0,0057

Passo 6

Vamos determinar o valor crítico do qui-quadrado para $ \alpha = 0,05 $ e os graus de liberdade. Os graus de liberdade ($ df $) são dados por:
alpha = 0,05 úú
Consultando uma tabela de qui-quadrado, o valor crítico para $ df = 2 $ e $ \alpha = 0,05 $ é aproximadamente 5,991.
Como nosso valor calculado $ \chi^2 \approx 2,193 $ é menor que 5,991, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com um valor de $ \chi^2 \approx 2,193 $ menor que o valor crítico de 5,991, não há evidências suficientes para afirmar que existe uma relação entre o sexo e a confiança na polícia no nível de significância de 5%. Ou seja, não rejeitamos a hipótese de que não há restrição baseada no sexo na confiança depositada na polícia.

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