Seja
uma amostra de uma população:
.
Mostre que a
pertence a família exponencial;
Mostre que a
Passo 1
Então, a gente tem uma amostra
de uma população onde cada
segue a distribuição com a função de densidade
, para
e
. O nosso objetivo aqui é mostrar que essa função de densidade pertence à família exponencial. Para isso, vamos precisar entender o que é uma família exponencial e como reescrever a função de densidade nesse formato.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a família exponencial de distribuições. Uma função de densidade pertence à família exponencial se ela puder ser escrita na forma:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
,
é a função de parâmetro natural,
é a estatística suficiente, e
é a função de normalização que garante que a integral da densidade seja 1.
Passo 3
Vamos agora reescrever a função de densidade dada na forma da família exponencial. A função original é:
Podemos manipular essa expressão para encaixar na forma da família exponencial:
Agora, identificamos cada parte conforme a forma geral da família exponencial:
- $ h(x) = 1 $ (pois não há outros termos que dependam apenas de
fora do exponencial) - $ \eta(\theta) = -\theta $ (coeficiente de
) - $ T(x) = x $ (a estatística suficiente)
- $ A(\theta) = -\ln(\theta) $ (para ajustar a normalização)
Passo 4
Verificando se todas as partes correspondem corretamente:
Isso está na mesma estrutura da família exponencial:
Portanto, conseguimos expressar a função de densidade dada na forma da família exponencial.
Resposta
A função de densidade
pertence à família exponencial, pois pode ser reescrita como: