Seja (X1, ldots, Xn) uma amostra de uma população: X sim f(x|theta)=theta e^-theta x, x>0, theta>0.
Mostre que a fdp pertence a família exponencial;

Passo 1

Então, a gente tem uma amostra (X1, ldots, Xn) de uma população onde cada X segue a distribuição com a função de densidade f(x|theta) = theta e^-theta x, para x > 0 e theta > 0. O nosso objetivo aqui é mostrar que essa função de densidade pertence à família exponencial. Para isso, vamos precisar entender o que é uma família exponencial e como reescrever a função de densidade nesse formato.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a família exponencial de distribuições. Uma função de densidade pertence à família exponencial se ela puder ser escrita na forma:
f(x|theta) = h(x) exp( eta(theta) T(x) - A(theta) )
Aqui, h(x) é uma função que depende apenas de x, eta(theta) é a função de parâmetro natural, T(x) é a estatística suficiente, e A(theta) é a função de normalização que garante que a integral da densidade seja 1.

Passo 3

Vamos agora reescrever a função de densidade dada na forma da família exponencial. A função original é:
f(x|theta) = theta e^-theta x
Podemos manipular essa expressão para encaixar na forma da família exponencial:
f(x|theta) = theta e^-theta x = e^ln(theta) - theta x
Agora, identificamos cada parte conforme a forma geral da família exponencial:
  • $ h(x) = 1 $ (pois não há outros termos que dependam apenas de h(x) = 1 fora do exponencial)
  • $ \eta(\theta) = -\theta $ (coeficiente de x)
  • $ T(x) = x $ (a estatística suficiente)
  • $ A(\theta) = -\ln(\theta) $ (para ajustar a normalização)

Passo 4

Verificando se todas as partes correspondem corretamente:
f(x|theta) = 1 cdot exp( -theta x + ln(theta) )
Isso está na mesma estrutura da família exponencial:
f(x|theta) = h(x) exp( eta(theta) T(x) - A(theta) )
Portanto, conseguimos expressar a função de densidade dada na forma da família exponencial.

Resposta

A função de densidade f(x|theta) = theta e^-theta x pertence à família exponencial, pois pode ser reescrita como:
f(x|theta) = 1 cdot exp( -theta x + ln(theta) )

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