Encontrar a função de verossimilhança de
da amostra aleatória
de uma população
, quando:
tem distribuição Normal:
,
. Sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma amostra aleatória $ X_1, X_2, ···, X_n $ que vem de uma distribuição Normal com média $ \mu $ e variância $ \sigma^2 $. O nosso objetivo aqui é encontrar a função de verossimilhança $ L(x; \theta) $, onde $ \theta = (\mu, \sigma^2) $. Para isso, vamos precisar entender o que é a função de verossimilhança e como ela se relaciona com distribuições de probabilidade, especialmente a Normal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de verossimilhança é basicamente o produto das densidades de probabilidade para cada observação da nossa amostra. Como os $ X_i $ são independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.), a verossimilhança será o produto das funções de densidade de cada $ X_i $ avaliadas em $ \mu $ e $ \sigma^2 $.
Passo 3
A função de densidade da distribuição Normal é dada por:
Aqui, $ \sigma $ é o desvio padrão, mas como estamos trabalhando com $ \sigma^2 $, vamos manter isso em mente.
Passo 4
Como queremos a verossimilhança para a amostra inteira, multiplicamos as densidades de todos os $ X_i $. Assim, a função de verossimilhança $ L(x; \theta) $ fica:
Passo 5
Substituindo a expressão da densidade normal na fórmula da verossimilhança, temos:
Passo 6
Agora, vamos simplificar esse produto. Primeiro, o termo $ \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} $ é constante para todos os $ i $, então podemos elevar isso à potência $ n $:
Passo 7
Simplificando ainda mais, temos:
Passo 8
Para deixar a expressão mais clean, podemos reescrever $ \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \right)^n $ como $ (2\pi \sigma2){-n/2} $. Assim, a função de verossimilhança final fica:
Resposta
A função de verossimilhança é dada por: