Encontrar a função de verossimilhança de L(x ; theta) da amostra aleatória ( X1, ldots, Xn ) de uma população X sim f(x|theta), quando:
X tem distribuição Normal: f(x mid mu, sigma)=1raiz2 pi sigma exp [-12 sigma^2(x-mu)^2],
-infty0. Sendo theta=(mu, sigma^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma amostra aleatória $ X_1, X_2, ···, X_n $ que vem de uma distribuição Normal com média $ \mu $ e variância $ \sigma^2 $. O nosso objetivo aqui é encontrar a função de verossimilhança $ L(x; \theta) $, onde $ \theta = (\mu, \sigma^2) $. Para isso, vamos precisar entender o que é a função de verossimilhança e como ela se relaciona com distribuições de probabilidade, especialmente a Normal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de verossimilhança é basicamente o produto das densidades de probabilidade para cada observação da nossa amostra. Como os $ X_i $ são independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.), a verossimilhança será o produto das funções de densidade de cada $ X_i $ avaliadas em $ \mu $ e $ \sigma^2 $.

Passo 3

A função de densidade da distribuição Normal é dada por:
f(x mid mu, sigma) = 1raiz2pi sigma^2 exp( -(x - mu)^22sigma^2 )
Aqui, $ \sigma $ é o desvio padrão, mas como estamos trabalhando com $ \sigma^2 $, vamos manter isso em mente.

Passo 4

Como queremos a verossimilhança para a amostra inteira, multiplicamos as densidades de todos os $ X_i $. Assim, a função de verossimilhança $ L(x; \theta) $ fica:
Xi

Passo 5

Substituindo a expressão da densidade normal na fórmula da verossimilhança, temos:
L(x; theta) = prodi=1^n 1raiz2pi sigma^2 exp( -(Xi - mu)^22sigma^2 )

Passo 6

Agora, vamos simplificar esse produto. Primeiro, o termo $ \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} $ é constante para todos os $ i $, então podemos elevar isso à potência $ n $:
1raiz2pi sigma^2

Passo 7

Simplificando ainda mais, temos:
L(x; theta) = ( 1raiz2pi sigma^2 )^n exp( -12sigma^2 sumi=1^n (Xi - mu)^2 )

Passo 8

Para deixar a expressão mais clean, podemos reescrever $ \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \right)^n $ como $ (2\pi \sigma2){-n/2} $. Assim, a função de verossimilhança final fica:
( 1raiz2pi sigma^2 )^n

Resposta

A função de verossimilhança é dada por:
L(x; theta) = (2pi sigma^2)^-n/2 exp( -12sigma^2 sumi=1^n (Xi - mu)^2 )

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