A tabela a seguir relaciona resultados de uma pesquisa obtidos de uma amostra aleatória de vítimas de diferentes crimes. Com o nível de 0,05 de significância, teste a afirmação de que o tipo de crime é independente do fato de o criminoso ser um estranho.

Homicídio Roubo Assalto

O criminoso era um estranho 12 379 727
O criminoso era conhecido ou parente 39 106 642
Com base em dados do Ministério da Justiça dos EUA.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para testar se o tipo de crime é independente de o criminoso ser um estranho, usando um nível de significância de 0,05. Isso significa que vamos verificar se há alguma relação entre o tipo de crime (Homicídio, Roubo, Assalto) e o fato de o criminoso ser desconhecido ou conhecido. Para resolver isso, vamos usar o Teste de Qui-Quadrado de Independência, que nos ajuda a determinar se duas variáveis categóricas são independentes uma da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses do teste:
  • Hipótese nula ($ H_0 $): O tipo de crime é independente do fato de o criminoso ser um estranho. Ou seja, não há relação entre as duas variáveis.
  • Hipótese alternativa ($ H_1 $): O tipo de crime não é independente do fato de o criminoso ser um estranho. Ou seja, existe alguma relação entre as duas variáveis.

Passo 3

Agora, vamos organizar os dados em uma tabela de contingência e calcular as frequências esperadas para cada célula. As frequências esperadas são os valores que esperaríamos observar em cada célula se as duas variáveis fossem realmente independentes.
Primeiro, vamos reunir os dados:
Homicídio Roubo Assalto Total
Criminoso era um estranho 12 379 727 1118
Criminoso era conhecido/parente 39 106 642 787
Total 51 485 1369 1905
Agora, vamos calcular as frequências esperadas ($ E $) para cada célula usando a fórmula:
E
Vamos calcular para cada célula:
  • Criminoso era um estranho e Homicídio:
    E = (Total da linha) times (Total da coluna)Total >=ral
  • Criminoso era um estranho e Roubo:
    E = 1118 times 511905 approx 29,96
  • Criminoso era um estranho e Assalto:
    E = 1118 times 4851905 approx 284,36
  • Criminoso conhecido/parente e Homicídio:
    E = 1118 times 13691905 approx 803,68
  • Criminoso conhecido/parente e Roubo:
    E = 787 times 511905 approx 21,04
  • Criminoso conhecido/parente e Assalto:
    E = 787 times 4851905 approx 200,64
Vamos organizar as frequências esperadas na tabela:
Homicídio ($ E $) Roubo ($ E $) Assalto ($ E $) Total
Criminoso era um estranho 29,96 284,36 803,68 1118
Criminoso era conhecido/parente 21,04 200,64 566,32 787
Total 51 485 1369 1905

Passo 4

Agora, vamos calcular o estatístico de Qui-Quadrado ($ \chi^2 $) usando a fórmula:
chi^2
Onde $ O $ é a frequência observada e $ E $ é a frequência esperada.
Vamos calcular para cada célula:
  1. Criminoso era um estranho e Homicídio:
    chi^2 = sum (O - E)^2E
  2. Criminoso era um estranho e Roubo:
    O
  3. Criminoso era um estranho e Assalto:
    E
  4. Criminoso conhecido/parente e Homicídio:
    (12 - 29,96)^229,96 approx ( -17,96 )^229,96 approx 322,8829,96 approx 10,77
  5. Criminoso conhecido/parente e Roubo:
    (379 - 284,36)^2284,36 approx (94,64)^2284,36 approx 8955,07284,36 approx 31,52
  6. Criminoso conhecido/parente e Assalto:
    (727 - 803,68)^2803,68 approx ( -76,68 )^2803,68 approx 5872,78803,68 approx 7,31
Agora, somamos todos esses valores para obter o valor total do $ \chi^2 $:
(39 - 21,04)^221,04 approx (17,96)^221,04 approx 322,8821,04 approx 15,37

Passo 5

Vamos determinar os graus de liberdade (gl) para o teste, que são calculados pela fórmula:
gl = (número de linhas - 1) times (número de colunas - 1) úú
No nosso caso, a tabela tem 2 linhas (tipos de criminoso) e 3 colunas (tipos de crime), então:
gl = (2 - 1) times (3 - 1) = 1 times 2 = 2
Agora, vamos encontrar o valor crítico para $ \chi^2 $ com 2 graus de liberdade e nível de significância de 0,05. Consultando uma tabela de Qui-Quadrado ou usando uma ferramenta estatística, encontramos que o valor crítico é aproximadamente 5,991.

Passo 6

Comparamos o valor calculado do $ \chi^2 $ com o valor crítico:
chi^2
Como o valor calculado é maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula ($ H_0 $).

Resposta

Com base no teste de Qui-Quadrado realizado, existe evidência estatística suficiente para concluir que o tipo de crime não é independente do fato de o criminoso ser um estranho no nível de significância de 0,05.

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