Seja
uma amostra de uma população:
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Verifique se o estimador é eficiente para
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Verifique se o estimador é eficiente para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma amostra $ (X_{1}, ···, X_{n}) $ de uma distribuição exponencial com função de densidade $ f(x|\theta) = \theta e^{-\theta x} $ para $ x > 0 $ e $ \theta > 0 $. Nosso objetivo é verificar se um estimador para $ \theta $ é eficiente. Para isso, vamos precisar entender o que é eficiência de um estimador e usar a Informação de Fisher, que nos ajuda a determinar o quão boa é a estimativa que estamos fazendo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o Estimador de Máxima Verossimilhança (MLE) para $ \theta $. A ideia do MLE é encontrar o valor de $ \theta $ que maximiza a probabilidade de observarmos os dados que temos.
A função de verossimilhança $ L(\theta) $ para a amostra é:
Para encontrar o MLE, vamos derivar o logaritmo da verossimilhança em relação a $ \theta $ e igualar a zero:
Derivando em relação a $ \theta $:
Resolvendo para $ \theta $:
Então, o estimador de máxima verossimilhança para $ \theta $ é $ \hat{\theta} = \frac{1}{\overline{X}} $, onde $ \overline{X} $ é a média da amostra.
Passo 3
Agora, vamos calcular a Informação de Fisher $ I(\theta) $, que nos dá uma ideia da quantidade de informação que os dados carregam sobre o parâmetro $ \theta $. A fórmula fornecida é:
Primeiro, calculamos a primeira derivada do logaritmo da função de densidade:
Agora, a segunda derivada:
Então, a Informação de Fisher é:
Para a amostra de tamanho $ n $, a Informação de Fisher total é:
Passo 4
Agora, vamos analisar a variância do estimador $ \hat{\theta} $. Sabemos que para a distribuição exponencial, a variância da média $ \overline{X} $ é:
Como $ \hat{\theta} = \frac{1}{\overline{X}} $, a aplicação da delta de Variança (aproximação para funções de variáveis aleatórias) nos dá:
Passo 5
Agora, vamos verificar se a variância do estimador alcança o limite de Cramér-Rao, que é o inverso da Informação de Fisher. O limite é:
Comparando com a variância do estimador que calculamos:
Vemos que a variância do estimador é exatamente igual ao limite de Cramér-Rao.
Resposta
Como a variância do estimador $ \hat{\theta} = \frac{1}{\overline{X}} $ atinge o limite de Cramér-Rao, concluímos que esse estimador é eficiente para $ \theta $.