Mostre que a equação dada não é exata. Ache um fator integrante e equação:
y^prime=e^2 x+y-1

Passo 1

O enunciado dá a equação de primeira ordem
y’ = e^{2x} + y - 1
o que pertence ao conteúdo de equações diferenciais exatas e fator integrante. Precisamos identificar se ela é exata, e em caso negativo encontrar um fator integrante e resolver.

Passo 2

Para verificar exatidão, escrevemos em forma diferencial M(x,y)
  • N(x,y)
dy = 0. Passamos tudo para o mesmo lado:
(e^{2x} + y - 1)
x - 1·y = 0
ou melhor:
M(x,y) = e^{2x} + y - 1,
N(x,y) = -1.

Passo 3

Uma equação M dx + N dy = 0 é exata se e somente se
partial Mpartial y = partial Npartial x
Aqui temos
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = 0,
portanto não são iguais e a equação não é exata.

Passo 4

Para achar fator integrante dependente só de x, usamos a fórmula
mu(x) = expl(integral partial M/partial y - partial N/partial xN ,dxr)
Substituindo:
partial M/partial y - partial N/partial xN = 1 - 0-1 = -1
logo
mu(x) = e^integral -1 ,dx = e^-x

Passo 5

Multiplicando a equação original por mu(x)=e^-x obtemos nova M~ e N~:
M^*(x,y) = e^-x(e^2x+y-1) = e^x + ye^-x - e^-x,
N^*(x,y) = -e^-x
Agora conferimos exatidão:
partial M^*partial y = e^-x, partial N^*partial x = -l(-e^-xr)' = e^-x,
e são iguais, então a equação é exata.

Passo 6

Para resolver a exata, achamos a função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M^*, partial psipartial y = N^*
Integramos M^* em x:
psi(x,y) = integral (e^x + ye^-x - e^-x) ,dx = e^x - ye^-x + e^-x + h(y)
Derivando em y e igualando a N^*:
partial psipartial y = -e^-x + h'(y) = -e^-x,
logo h'(y)=0 e h(y)=C. Assim a solução implícita é
psi(x,y) = e^x + e^-x - ye^-x = C

Resposta

O fator integrante é µ(x)=e^{-x} e a solução geral (implícita) fica
e^x+e^-x-y,e^-x=C

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