Mostre que a equação dada não é exata. Ache um fator integrante e equação:
Passo 1
O enunciado dá a equação de primeira ordem
y’ = e^{2x} + y - 1
o que pertence ao conteúdo de equações diferenciais exatas e fator integrante. Precisamos identificar se ela é exata, e em caso negativo encontrar um fator integrante e resolver.
Passo 2
Para verificar exatidão, escrevemos em forma diferencial M(x,y)
- N(x,y)
dy = 0. Passamos tudo para o mesmo lado:
(e^{2x} + y - 1)
x - 1·y = 0
x - 1·y = 0
ou melhor:
M(x,y) = e^{2x} + y - 1,
N(x,y) = -1.
Passo 3
Uma equação M dx + N dy = 0 é exata se e somente se
Aqui temos
portanto não são iguais e a equação não é exata.
Passo 4
Para achar fator integrante dependente só de x, usamos a fórmula
Substituindo:
logo
Passo 5
Multiplicando a equação original por
obtemos nova M~ e N~:
Agora conferimos exatidão:
e são iguais, então a equação é exata.
Passo 6
Para resolver a exata, achamos a função potencial
tal que
Integramos
em x:
Derivando em y e igualando a
:
logo
e
. Assim a solução implícita é
Resposta
O fator integrante é µ(x)=e^{-x} e a solução geral (implícita) fica