Encontrar o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
sumn=1^infty (x-3)^nn^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty (x-3)^nn^n. Isso significa descobrir para quais valores de x essa série vai somar a um valor finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, que são ferramentas matemáticas que ajudam a determinar se uma série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos optar pelo Teste da Raiz, que é bem útil quando temos potências de n, como é o caso aqui. O teste da raiz nos diz que, para a série sum an, se limn to infty raiz[n]|an| = L:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não conclui nada.
Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, an = (x-3)^nn^n.

Passo 3

Calculando a raiz enésima de |an|:
raiz[n]|an| = raiz[n]| (x-3)^nn^n | = |x-3|n

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty |x-3|n = 0
Isso porque |x-3| é uma constante em relação a n, e n vai para o infinito, fazendo com que toda a expressão tende a zero.

Passo 5

Segundo o Teste da Raiz, se o limite L = 0 < 1, a série converge para qualquer valor de x. Isso significa que não importa qual seja o valor de x, a série sempre vai somar a um valor finito.

Resposta

O intervalo de convergência é boxed(-infty, infty), ou seja, para todo x real.

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