Encontrar o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o intervalo de convergência da série de potências . Isso significa descobrir para quais valores de essa série vai somar a um valor finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, que são ferramentas matemáticas que ajudam a determinar se uma série converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos optar pelo Teste da Raiz, que é bem útil quando temos potências de , como é o caso aqui. O teste da raiz nos diz que, para a série , se :
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste não conclui nada.
Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, .
Passo 3
Calculando a raiz enésima de :
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty |x-3|n = 0
Isso porque |x-3| é uma constante em relação a n, e n vai para o infinito, fazendo com que toda a expressão tende a zero.
Passo 5
Segundo o Teste da Raiz, se o limite L = 0 < 1, a série converge para qualquer valor de x. Isso significa que não importa qual seja o valor de x, a série sempre vai somar a um valor finito.
Resposta
O intervalo de convergência é boxed(-infty, infty), ou seja, para todo x real.