Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções
(i)
(i)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os intervalos de crescimento, os intervalos de decrescimento, e os máximos e mínimos relativos da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - Domínio implícito: todos os números reais
.
Passo 2
Entender a expressão com valor absoluto: a ideia prática é escrever a função como uma função peça a peça, separando onde a expressão interna muda de sinal. A regra é:
Aqui
. Primeiro encontramos onde
:
Logo o sinal de
muda em
. Vamos escrever
peça a peça usando isso.]
Passo 3
Escrever
como função por partes (mostrando cada etapa):
- Para
temos , logo
- Para
temos , logo
Observe que em
ambas as expressões valem
, então
está bem definida.
Passo 4
Analisar monotonicidade das partes (aula curta sobre linearidade e monotonicidade):
- Regra: uma função linear
é crescente se (quanto maior , maior ) e é decrescente se .
Aplicando isso às peças:- Para
(parte esquerda) a função é com coeficiente angular . Logo é estritamente decrescente em qualquer intervalo contido em . - Para
(parte direita) a função é com coeficiente angular . Logo é estritamente crescente em qualquer intervalo contido em .
- Para
Portanto, os intervalos de monotonicidade estrita são:
- decrescente em
; - crescente em
.
Nota sobre o ponto
: há uma “quina” (canto) em
, pois a derivada à esquerda é
e à direita é
; a derivada não existe em
. Isso impede dizer que a função é crescente ou decrescente em um intervalo que inclua
estritamente no meio.
Passo 5
Determinar máximos e mínimos (conceito e aplicação):
- Definição rápida: se a função muda de decrescente para crescente passando por um ponto, esse ponto é um mínimo local. Se muda de crescente para decrescente, é um máximo local.
Aqui a função passa de decrescente (à esquerda de) para crescente (à direita de ), então é um ponto de mínimo local. Como , não existe máximo finito (a função cresce indefinidamente nas duas extremidades), portanto não há máximos locais nem máximo global finito.
Calcular o valor do mínimo:
Esse mínimo é também mínimo global (valor menor ou igual a todos os outros valores da função).
Resposta
Crescente em
.
Decrescente em .
Máximos relativos: nenhum.
Mínimo relativo (e global): em , com
.
Decrescente em
Máximos relativos: nenhum.
Mínimo relativo (e global): em