Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções
(i) f(x)=|12-6 x|

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os intervalos de crescimento, os intervalos de decrescimento, e os máximos e mínimos relativos da função \,f(x)=\lvert 12-6x\rvert.
Informações dadas:
  • A função é \,f(x)=\lvert 12-6x\rvert.
  • Domínio implícito: todos os números reais \,\mathbb{R}.

Passo 2

Entender a expressão com valor absoluto: a ideia prática é escrever a função como uma função peça a peça, separando onde a expressão interna muda de sinal. A regra é:
\lvert u\rvert = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -\,u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Aqui u(x)=12-6x. Primeiro encontramos onde u(x)=0:
12-6x=0 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Logo o sinal de u(x) muda em x=2. Vamos escrever f peça a peça usando isso.]

Passo 3

Escrever f como função por partes (mostrando cada etapa):
  • Para x\le 2 temos 12-6x\ge 0, logo
f(x)=12-6x,\qquad \text{para } x\le 2.
  • Para x>2 temos 12-6x<0, logo
f(x)=-(12-6x)=6x-12,\qquad \text{para } x>2.
Observe que em x=2 ambas as expressões valem 0, então f está bem definida.

Passo 4

Analisar monotonicidade das partes (aula curta sobre linearidade e monotonicidade):
  • Regra: uma função linear \,g(x)=ax+b é crescente se a>0 (quanto maior x, maior g(x)) e é decrescente se a<0.
    Aplicando isso às peças:
    • Para x<2 (parte esquerda) a função é \,f(x)=12-6x com coeficiente angular -6<0. Logo é estritamente decrescente em qualquer intervalo contido em (-\infty,2).
    • Para x>2 (parte direita) a função é \,f(x)=6x-12 com coeficiente angular 6>0. Logo é estritamente crescente em qualquer intervalo contido em (2,\infty).
Portanto, os intervalos de monotonicidade estrita são:
  • decrescente em (-\infty,2);
  • crescente em (2,\infty).
Nota sobre o ponto x=2: há uma “quina” (canto) em x=2, pois a derivada à esquerda é -6 e à direita é +6; a derivada não existe em x=2. Isso impede dizer que a função é crescente ou decrescente em um intervalo que inclua 2 estritamente no meio.

Passo 5

Determinar máximos e mínimos (conceito e aplicação):
  • Definição rápida: se a função muda de decrescente para crescente passando por um ponto, esse ponto é um mínimo local. Se muda de crescente para decrescente, é um máximo local.
    Aqui a função passa de decrescente (à esquerda de 2) para crescente (à direita de 2), então x=2 é um ponto de mínimo local. Como \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=+\infty, não existe máximo finito (a função cresce indefinidamente nas duas extremidades), portanto não há máximos locais nem máximo global finito.
Calcular o valor do mínimo:
f(2)=\lvert 12-6\cdot 2\rvert=\lvert 12-12\rvert=\lvert 0\rvert=0.
Esse mínimo é também mínimo global (valor menor ou igual a todos os outros valores da função).

Resposta

Crescente em (2,\infty).
Decrescente em (-\infty,2).
Máximos relativos: nenhum.
Mínimo relativo (e global): em x=2, com f(2)=0.

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