A posição de uma partícula que se move no plano xy é dada por
, com
em metros e t em segundos. Determine o módulo e a direção do vetor velocidade 8,0 s após o lançamento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição de uma partícula que se move no plano xy, dada por:
O que queremos saber é qual é o módulo (ou seja, o tamanho) e a direção do vetor velocidade da partícula 8,0 segundos após o lançamento. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente a derivada da posição para encontrar a velocidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor velocidade, que é a derivada da posição em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é:
Vamos derivar cada componente da posição:
- Na direção x:
Derivando em relação ao tempo:
- Na direção y:
Derivando em relação ao tempo:
Passo 3
Agora, vamos calcular as componentes da velocidade no instante de 8,0 segundos:
- Componente x da velocidade:
- Componente y da velocidade:
Passo 4
Com as componentes da velocidade, podemos encontrar o módulo do vetor velocidade usando o teorema de Pitágoras:
Calculando os valores:
Passo 5
Para encontrar a direção do vetor velocidade, vamos calcular o ângulo que ele forma com o eixo x positivo. Usamos a função arco-tangente:
Esse ângulo negativo indica que a direção está abaixo do eixo x positivo, praticamente apontando diretamente para baixo.
Resposta
O vetor velocidade 8,0 segundos após o lançamento tem um módulo de aproximadamente
e está direcionado a
em relação ao eixo x positivo.