A posição de uma partícula que se move no plano xy é dada por r=(2,0 t^3-5,0 t) i+(6,0-7,0 t^4) j, com r em metros e t em segundos. Determine o módulo e a direção do vetor velocidade 8,0 s após o lançamento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição de uma partícula que se move no plano xy, dada por:
r(t) = (2,0, t^3 - 5,0, t) i + (6,0 - 7,0, t^4) j
O que queremos saber é qual é o módulo (ou seja, o tamanho) e a direção do vetor velocidade da partícula 8,0 segundos após o lançamento. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente a derivada da posição para encontrar a velocidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor velocidade, que é a derivada da posição em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é:
v(t) = dr(t)dt
Vamos derivar cada componente da posição:
  • Na direção x:
rx(t) = 2,0, t^3 - 5,0, t
Derivando em relação ao tempo:
vx(t) = ddt (2,0, t^3 - 5,0, t) = 6,0, t^2 - 5,0
  • Na direção y:
ry(t) = 6,0 - 7,0, t^4
Derivando em relação ao tempo:
vy(t) = ddt (6,0 - 7,0, t^4) = -28,0, t^3

Passo 3

Agora, vamos calcular as componentes da velocidade no instante de 8,0 segundos:
  • Componente x da velocidade:
vx(8) = 6,0, (8)^2 - 5,0 = 6,0 times 64 - 5,0 = 384 - 5 = 379,0, m/s
  • Componente y da velocidade:
vy(8) = -28,0, (8)^3 = -28,0 times 512 = -14336,0, m/s

Passo 4

Com as componentes da velocidade, podemos encontrar o módulo do vetor velocidade usando o teorema de Pitágoras:
|v| = raizvx^2 + vy^2 = raiz(379,0)^2 + (-14336,0)^2
Calculando os valores:
|v| = raiz143641 + 205555396 = raiz205698037 approx 14335,0, m/s

Passo 5

Para encontrar a direção do vetor velocidade, vamos calcular o ângulo que ele forma com o eixo x positivo. Usamos a função arco-tangente:
theta = arctan(vyvx) = arctan(-14336,0379,0) approx arctan(-37,8) approx -88,5^circ
Esse ângulo negativo indica que a direção está abaixo do eixo x positivo, praticamente apontando diretamente para baixo.

Resposta

O vetor velocidade 8,0 segundos após o lançamento tem um módulo de aproximadamente 1,4335 times 10^4, m/s e está direcionado a -88,5^circ em relação ao eixo x positivo.

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