Sejam as matrizes A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\\\ 3 & 1 & 4\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{cc}-2 & 5 \\\\ 4 & -3 \\\\ 2 & 1\end{array}\right), determine o produto AxB .

Passo 1

O enunciado dá as matrizes A e B abaixo e pede para calcular o produto A\times B:
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\[4pt] 3 & 1 & 4\end{pmatrix}
B=\begin{pmatrix}-2 & 5 \\[4pt] 4 & -3 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}
Informações relevantes que o enunciado fornece:
\text{dimensão de }A = 2\times 3,\qquad \text{dimensão de }B = 3\times 2.ãã
O que nos pedem: determinar a matriz resultado A\times B (se existir).]

Passo 2

Condição para o produto existir e fórmula: para que A\times B exista, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B. Aqui A tem 3 colunas e B tem 3 linhas, então o produto existe. O resultado terá dimensão igual ao número de linhas de A por número de colunas de B, ou seja, será uma matriz 2\times 2.
Regra de cálculo do elemento genérico: o elemento (i,j) da matriz A\times B é a soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A e da j-ésima coluna de B. Em notação:
(A B)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj},
onde n é o número de colunas de A (aqui n=3). Isso é apenas o produto escalar (dot product) entre uma linha de A e uma coluna de B.
Explicando de forma bem concreta: para cada entrada da matriz resultante eu pego a linha correspondente de A, multiplico termo a termo com a coluna correspondente de B e somo tudo.

Passo 3

Calcular (AB)_{11} (primeira linha, primeira coluna). Pegamos a primeira linha de A:
\text{linha 1 de }A = (1,\;2,\;-1)
e a primeira coluna de B:
\text{coluna 1 de }B = (-2,\;4,\;2).
Fazemos o produto termo a termo e somamos:
(AB)_{11}=1\cdot(-2)+2\cdot4+(-1)\cdot2.
Calculando passo a passo:
1\cdot(-2)=-2,\qquad 2\cdot4=8,\qquad (-1)\cdot2=-2,
(AB)_{11}=-2+8-2=4.

Passo 4

Calcular (AB)_{12} (primeira linha, segunda coluna). A primeira linha de A é (1,2,-1) e a segunda coluna de B é (5,-3,1) (peguei esse dado da matriz B fornecida). Fazemos o produto escalar:
(AB)_{12}=1\cdot5+2\cdot(-3)+(-1)\cdot1.
Calculando:
1\cdot5=5,\qquad 2\cdot(-3)=-6,\qquad (-1)\cdot1=-1,
(AB)_{12}=5-6-1=-2.

Passo 5

Calcular (AB)_{21} (segunda linha, primeira coluna). Pegamos a segunda linha de A:
\text{linha 2 de }A = (3,\;1,\;4)
e a primeira coluna de B que já sabemos ser (-2,4,2). Produto escalar:
(AB)_{21}=3\cdot(-2)+1\cdot4+4\cdot2.
Calculando:
3\cdot(-2)=-6,\qquad 1\cdot4=4,\qquad 4\cdot2=8,
(AB)_{21}=-6+4+8=6.

Passo 6

Calcular (AB)_{22} (segunda linha, segunda coluna). Segunda linha de A é (3,1,4) e segunda coluna de B é (5,-3,1). Produto escalar:
(AB)_{22}=3\cdot5+1\cdot(-3)+4\cdot1.
Calculando:
3\cdot5=15,\qquad 1\cdot(-3)=-3,\qquad 4\cdot1=4,
(AB)_{22}=15-3+4=16.

Passo 7

Juntando os elementos calculados, a matriz resultado A\times B (dimensão 2\times2) é
AB=\begin{pmatrix}4 & -2 \\[4pt] 6 & 16\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}4 & -2 \\[4pt] 6 & 16\end{pmatrix}]

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