\quad Sendo as matrizes A=\left(\begin{array}{cc}x+y & m-n \\\ x-2 y & 3 m+n\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{cc}8 & 6 \\\\ -1 & 10\end{array}\right), achar os valores de \mathrm{x}, \mathrm{y}, m e n para que se tenha \mathrm{A}=\mathrm{B}.
e pede: achar os valores de x, y, m e n tais que A=B.
As entradas das duas matrizes estão todas listadas acima.]
Passo 2
Conceito importante (explicadinho): duas matrizes são iguais se, e somente se, todas as entradas correspondentes forem iguais. Isso significa que devemos igualar cada posição de A\) com a posição correspondente de \(B\). Assim obtemos o sistema de quatro equações:
\[\begin{cases} x+y=8,\\[4pt] m-n=6,\\[4pt] x-2y=-1,\\[4pt] 3m+n=10. \end{cases}
Agora vamos resolver esse sistema em duas etapas: primeiro as equações que envolvem x,y\] e depois as que envolvem \(m,n.]
Passo 3
Resolver para x\) e \(y\). Pegamos as duas primeiras equações relativas a \(x,y\):
\[\begin{cases} x+y=8,\\[4pt] x-2y=-1. \end{cases}
Vou usar eliminação (um jeitinho simples): subtraio a segunda equação da primeira para eliminar x\]:
\[(x+y)-(x-2y)=8-(-1).\]
No lado esquerdo \(x cancela e sobra y+2y=3y. No direito 8-(-1)=9. Então
3y=9.
Dividindo por 3,
y=3.
Agora volto em qualquer equação original para achar x. Uso x+y=8:
x+3=8 \quad\Rightarrow\quad x=8-3=5.
Portanto x=5 e y=3.]
Passo 4
Resolver para m\) e \(n\). Pegamos as duas equações restantes:
\[\begin{cases} m-n=6,\\[4pt] 3m+n=10. \end{cases}
Aqui também uso eliminação: somo as duas equações para eliminar n\]:
\[(m-n)+(3m+n)=6+10.\]
No lado esquerdo \(-n + n = 0, sobra 4m. No direito 16. Assim
4m=16.
Dividindo por 4,
m=4.
Agora uso m-n=6 para obter n:
4-n=6 \quad\Rightarrow\quad n=4-6=-2.
Portanto m=4 e n=-2.]
Passo 5
Conferência (sempre bom checar): substituímos os valores em A: