Nos Problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
y d x+(y cos xy-x) d y=0, y(0)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y,dx + l(ycosxy - xr),dy = 0
com condição inicial y(0)=2. Note que
;M(x,y)=y; e ;N(x,y)=ycos(x/y)-x; são funções homogêneas de grau 1, pois
M(lambda x,lambda y)=lambda,M(x,y), N(lambda x,lambda y)=lambda,N(x,y)
Para equações homogêneas, usamos a substituição
x = y,t, t = xy

Passo 2

Substituindo x=y,t em dx, temos
dx = t,dy + y,dt
Na equação original
y,dx + l(ycos t - xr),dy = 0
ficamos com
y,(t,dy + y,dt) + l(ycos t - y,tr),dy = 0
Expandindo e cancelando y,t,dy, resulta
y^2,dt + ycos t,dy = 0

Passo 3

Dividindo por y^2, obtenho
dt + cos ty,dy = 0
Separando variáveis, chega-se a
dtcos t = -dyy

Passo 4

Integrando cada lado:
integral sec t,dt = -integral 1y,dy
Isso leva a
lnl|sec t + tan tr| = -ln|y| + C
Exponenciando, define-se K=e^C e obtém-se
sec t + tan t = Ky

Passo 5

Voltando a t=tfracxy, a solução implícita é
sec!l(tfracxyr) + tan!l(tfracxyr) = Ky
Usando y(0)=2: em x=0 tem-se sec0+tan0=1, logo 1=K/2 e K=2. Portanto a solução particular satisfaz
sec!l(tfracxyr) + tan!l(tfracxyr) = 2y

Resposta

sec!l(tfracxyr) + tan!l(tfracxyr)=2y

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