Encontrar pontos críticos, classificar os pontos entre pontos mínimos e máximos locais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função $ y = x^{\frac{4}{5}} \cdot (x - 4)^2 $ e classificá-los como mínimos ou máximos locais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. São os valores de $ x $ onde a derivada da função $ y $ é igual a zero ou onde a derivada não existe. Esses pontos são importantes porque podem indicar onde a função atinge máximos ou mínimos locais.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função $ y $ em relação a $ x $. A função é um produto de duas partes: $ x^{\frac{4}{5}} $ e $ (x - 4)^2 $. Para derivar isso, vamos usar a regra do produto, que diz que se $ y = u \cdot v $, então $ y’ = u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
Passo 4
Vamos identificar $ u $ e $ v $:
- $ u = x^{\frac{4}{5}} $
- $ v = (x - 4)^2 $
Agora, vamos calcular as derivadas de $ u $ e $ v $:
- $ u’ = \frac{4}{5}x^{\frac{4}{5} - 1} = \frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}} $
- $ v’ = 2(x - 4) $
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão para facilitar a resolução. Podemos fatorar $ x^{-\frac{1}{5}} $ e $ (x - 4) $:
Agora, simplificamos o que está dentro dos parênteses:
Passo 7
Então, a derivada simplificada fica:
Passo 8
Agora, queremos encontrar os pontos críticos, ou seja, resolver $ y’ = 0 $:
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
- $ \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} = 0 $ → Isso nunca ocorre, já que $ \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} $ não é zero para nenhum valor real de $ x $.
- $ x - 4 = 0 $ → $ x = 4 $
- $ 14x - 16 = 0 $ → $ x = \frac{16}{14} = \frac{8}{7} $
Passo 9
Além disso, precisamos verificar onde a derivada não existe. Olhando para $ y’ $, vemos que $ x^{-\frac{1}{5}} $ não está definido para $ x = 0 $. Então, $ x = 0 $ também é um ponto crítico.
Passo 10
Agora, temos três pontos críticos:
- $ x = 0 $
- $ x = \frac{8}{7} $
- $ x = 4 $
Vamos classificar cada um como mínimo ou máximo local.
Passo 11
Para classificar os pontos críticos, podemos usar o teste da segunda derivada. Vamos calcular a segunda derivada $ y’’ $ e avaliar em cada ponto crítico.
Passo 12
Calcular a segunda derivada de $ y $ é um pouco trabalhoso, mas para simplificação, podemos usar o teste da variação do sinal da primeira derivada ao redor de cada ponto crítico.
Passo 13
Vamos analisar os intervalos em torno de cada ponto crítico:
-
Para $ x = 0 $:
- À esquerda de 0: $ x $ negativo.
- À direita de 0: $ x $ positivo.
- Observando a derivada, percebemos que a função muda de decrescente para crescente. Portanto, $ x = 0 $ é um ponto de mínimo local.
-
Para $ x = \frac{8}{7} $:
- Testando valores próximos, vemos que a derivada muda de positiva para negativa. Assim, $ x = \frac{8}{7} $ é um ponto de máximo local.
-
Para $ x = 4 $:
- A derivada muda de negativa para positiva. Então, $ x = 4 $ é um ponto de mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos da função $ y = x^{\frac{4}{5}} \cdot (x - 4)^2 $ são:
- $ x = 0 $: ponto de mínimo local.
- $ x = \frac{8}{7} $: ponto de máximo local.
- $ x = 4 $: ponto de mínimo local.