Encontrar pontos críticos, classificar os pontos entre pontos mínimos e máximos locais:
y=x^4 / 5 cdot(x-4)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função $ y = x^{\frac{4}{5}} \cdot (x - 4)^2 $ e classificá-los como mínimos ou máximos locais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. São os valores de $ x $ onde a derivada da função $ y $ é igual a zero ou onde a derivada não existe. Esses pontos são importantes porque podem indicar onde a função atinge máximos ou mínimos locais.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função $ y $ em relação a $ x $. A função é um produto de duas partes: $ x^{\frac{4}{5}} $ e $ (x - 4)^2 $. Para derivar isso, vamos usar a regra do produto, que diz que se $ y = u \cdot v $, então $ y’ = u’ \cdot v + u \cdot v’ $.

Passo 4

Vamos identificar $ u $ e $ v $:
  • $ u = x^{\frac{4}{5}} $
  • $ v = (x - 4)^2 $
Agora, vamos calcular as derivadas de $ u $ e $ v $:
  • $ u’ = \frac{4}{5}x^{\frac{4}{5} - 1} = \frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}} $
  • $ v’ = 2(x - 4) $

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
y' = u' cdot v + u cdot v' = 45x^-15 cdot (x - 4)^2 + x^45 cdot 2(x - 4)

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão para facilitar a resolução. Podemos fatorar $ x^{-\frac{1}{5}} $ e $ (x - 4) $:
x^-15
Agora, simplificamos o que está dentro dos parênteses:
(x - 4)

Passo 7

Então, a derivada simplificada fica:
y' = x^-15(x - 4)( 145x - 165 ) = 1x^15(x - 4)( 14x - 165 )

Passo 8

Agora, queremos encontrar os pontos críticos, ou seja, resolver $ y’ = 0 $:
y' = 0
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
  1. $ \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} = 0 $ → Isso nunca ocorre, já que $ \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} $ não é zero para nenhum valor real de $ x $.
  2. $ x - 4 = 0 $ → $ x = 4 $
  3. $ 14x - 16 = 0 $ → $ x = \frac{16}{14} = \frac{8}{7} $

Passo 9

Além disso, precisamos verificar onde a derivada não existe. Olhando para $ y’ $, vemos que $ x^{-\frac{1}{5}} $ não está definido para $ x = 0 $. Então, $ x = 0 $ também é um ponto crítico.

Passo 10

Agora, temos três pontos críticos:
  1. $ x = 0 $
  2. $ x = \frac{8}{7} $
  3. $ x = 4 $
Vamos classificar cada um como mínimo ou máximo local.

Passo 11

Para classificar os pontos críticos, podemos usar o teste da segunda derivada. Vamos calcular a segunda derivada $ y’’ $ e avaliar em cada ponto crítico.

Passo 12

Calcular a segunda derivada de $ y $ é um pouco trabalhoso, mas para simplificação, podemos usar o teste da variação do sinal da primeira derivada ao redor de cada ponto crítico.

Passo 13

Vamos analisar os intervalos em torno de cada ponto crítico:
  1. Para $ x = 0 $:
    • À esquerda de 0: $ x $ negativo.
    • À direita de 0: $ x $ positivo.
    • Observando a derivada, percebemos que a função muda de decrescente para crescente. Portanto, $ x = 0 $ é um ponto de mínimo local.
  2. Para $ x = \frac{8}{7} $:
    • Testando valores próximos, vemos que a derivada muda de positiva para negativa. Assim, $ x = \frac{8}{7} $ é um ponto de máximo local.
  3. Para $ x = 4 $:
    • A derivada muda de negativa para positiva. Então, $ x = 4 $ é um ponto de mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos da função $ y = x^{\frac{4}{5}} \cdot (x - 4)^2 $ são:
  • $ x = 0 $: ponto de mínimo local.
  • $ x = \frac{8}{7} $: ponto de máximo local.
  • $ x = 4 $: ponto de mínimo local.

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