Calcular a derivada.
f(x)=\frac{1}{2}\left[\operatorname{argcosh} x^{2}\right]^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1}{2}\bigl[\operatorname{argcosh}(x^2)\bigr]^{2}.
O conteúdo aqui é derivada de composição de funções (regra da cadeia) e a derivada da função \operatorname{argcosh}(u).

Passo 2

Definimos
g(x)=\operatorname{argcosh}\bigl(h(x)\bigr) \quad\text{com}\quad h(x)=x^2.
Então podemos ver
f(x)=\frac{1}{2}\bigl[g(x)\bigr]^2.
Pela regra da cadeia para potência,
f'(x)=\frac{1}{2}\cdot 2\,g(x)\,g'(x)=g(x)\,g'(x).

Passo 3

Agora calculamos g'(x). Como
g(x)=\operatorname{argcosh}\bigl(u\bigr) \quad\text{com}\quad u=h(x)=x^2,
sabemos que
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{argcosh}(u)\bigr] =\frac{1}{\sqrt{u-1}\,\sqrt{u+1}}.
E
u'=h'(x)=\frac{d}{dx}(x^2)=2x.
Pela regra da cadeia,
g'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{argcosh}(x^2)\bigr] =\frac{2x}{\sqrt{x^2-1}\,\sqrt{x^2+1}}.

Passo 4

Substituindo g(x) e g'(x) em f'(x)=g(x)\,g'(x), obtemos
f'(x) =\operatorname{argcosh}(x^2)\;\cdot\;\frac{2x}{\sqrt{x^2-1}\,\sqrt{x^2+1}}.

Resposta

f'(x) =\frac{2x\,\operatorname{argcosh}(x^2)}{\sqrt{x^2-1}\,\sqrt{x^2+1}}.

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