Encontrar a reta tangente à curva y=|x|raiz2-x^2 no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva
y = |x|raiz2 - x^2
no ponto (1,1).
Conteúdo: derivada de função com valor absoluto e aplicação da regra do produto e da cadeia.

Passo 2

Como x=1>0, têm-se |x|=x. Definimos
f(x)=xraiz2-x^2=x,(2-x^2)^-tfrac12
Para achar a inclinação da tangente precisamos de f'(x).

Passo 3

Aplicando a regra do produto a
f(x)=x,(2-x^2)^-12, temos
f'(x)=1cdot(2-x^2)^-tfrac12 +xcdotl(-tfrac12r)(2-x^2)^-tfrac32cdot(-2x)
Simplificando:
f'(x)=(2-x^2)^-tfrac12+x^2,(2-x^2)^-tfrac32 =2(2-x^2)^tfrac32

Passo 4

Avaliaremos em x=1:
f'(1)=2(2-1)^tfrac32 =21=2
Logo, a inclinação da reta tangente em (1,1) é 2.

Passo 5

A equação da reta tangente, na forma ponto-inclinação, é
y-1=2,(x-1)
Isolando y, obtemos y=2x-1.

Resposta

A reta tangente é
y = 2x - 1

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