Encontre as assíntotas verticais das seguintes funções usando a definição:
y=e^x-1x^2

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais da função
y = e^x-1x^2,
usando a definição de assíntota vertical: um valor x=a é assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes condições ocorre:
limxto a^+y(x)=pminfty ou limxto a^-y(x)=pminfty
Para resolver, vamos identificar onde o denominador se anula e estudar os limites laterais nesses pontos.

Passo 2

Determinamos o domínio da função. Como o denominador x^2 não pode ser zero, o domínio é
Rsetminus0
Logo, a única candidata a assíntota vertical é x=0.

Passo 3

Calculamos o limite pela direita em x=0. Para isso, usamos a expansão em série de Taylor em torno de x=0:
e^x-1 = x + tfracx^22 + O(x^3)
Divide-se por x^2:
e^x-1x^2 = x + tfracx^22 + O(x^3)x^2 = 1x + tfrac12 + O(x)
Assim,
limxto 0^+e^x-1x^2 = limxto 0^+l(tfrac1x + tfrac12 + O(x)r) = +infty

Passo 4

Analogamente, para xto 0^- temos a mesma expansão, mas com 1/xto -infty. Logo,
limxto 0^-e^x-1x^2 = -infty

Passo 5

Como os limites laterais em x=0 divergem para infinito (um para +infty e outro para -infty), concluímos que x=0 é assíntota vertical.

Resposta

A única assíntota vertical é
x = 0

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