Encontre uma equação da reta tangente à curva y=3 x-4 x^2 no ponto (2,-4).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva y=3x-4x^2 no ponto (2,-4). Para isso vamos precisar de dois ingredientes:
  1. O coeficiente angular da reta tangente, que é dado pela derivada dydx avaliada em x=2.
  2. A fórmula ponto-inclinação da reta:
y - y0 = m,(x - x0)

Passo 2

Calcular a derivada da função y=3x-4x^2. Usando a regra da potência,
dydx = 3 - 8x

Passo 3

Avaliar dydx em x=2 para obter o coeficiente angular m:
m = dydx|x=2 = 3 - 8cdot2 = 3 - 16 = -13

Passo 4

Aplicar a fórmula da reta tangente em (x0,y0)=(2,-4):
y - y0 = m,(x - x0)
y - (-4) = -13,(x - 2)
y + 4 = -13(x - 2)

Passo 5

Simplificar para a forma explícita y = ax + b:
y + 4 = -13x + 26 Longrightarrow y = -13x + 26 - 4 Longrightarrow y = -13x + 22

Resposta

y = -13x + 22

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