Encontrar a solução para a equação x=\cos x \operatorname{com} precisão \varepsilon=10^{-6}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação x=\cos x com precisão \varepsilon=10^{-6}.\n
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • A equação é x=\cos x.
  • Desejamos um valor aproximado de x tal que o erro em relação à solução exata seja menor ou igual a \varepsilon=10^{-6}.

Passo 2

Escolhemos uma forma prática de obter a solução usando iteração: definir a função iterativa g(x)=\cos x e calcular a sequência
x_{n+1}=g(x_n)=\cos x_n.
Por que isso faz sentido (explicação didática, sem jargões complicados): se existirá um ponto x^* tal que x^*=\cos x^*, então x^* é um ponto fixo de g. Se g for uma contração num intervalo que contenha esse ponto, a iteração x_{n+1}=g(x_n) converge para x^*. Vou agora mostrar que g é de fato uma contração num intervalo adequado e como usar isso para controlar o erro.

Passo 3

Provar que g(x)=\cos x é contração em um intervalo que contém a solução (explicando tudo passo a passo):
  • Note que, para qualquer x, g'(x)=-\sin x. Então |g'(x)|=|\sin x|.
  • Se considerarmos o intervalo [0,1], temos |\sin x|\le \sin 1 para todo x\in[0,1]. Numericamente,
\sin 1 \approx 0,8414709848.
  • Portanto, g tem derivada em módulo majorada por
L:=\max_{x\in[0,1]}|g'(x)|=\sin 1\approx0,8414709848<1.
Isso mostra que g é uma contração em [0,1] com constante de contração L=\sin 1.
  • Também é preciso ver que a iteração fica dentro do intervalo: para x\in[0,1] temos \cos x\in[\cos 1,1]\subset[0,1] (peguei o dado de \cos avaliado em 1). Logo g mapeia [0,1] em si, então a iteração não sai do intervalo.

Passo 4

Usar a propriedade de contração para obter uma cota de erro útil (aulas práticas e fórmula):
  • Para uma contração com constante L vale a desigualdade
|x_{n+1}-x_n|\le L\,|x_n-x_{n-1}|\quad\text{para todo }n\ge1.
Dessa relação geométrica podemos obter a cota
|x_n-x^*|\le\frac{|x_{n+1}-x_n|}{1-L}.
Esta desigualdade é muito prática: ela diz que, se fizermos a iteração até que a diferença entre dois termos consecutivos |x_{n+1}-x_n| seja pequena, então o termo anterior x_n já está próximo da solução x^*. Em particular, para garantir |x_n-x^*|\le\varepsilon basta exigir
|x_{n+1}-x_n|\le (1-L)\varepsilon.
  • Calculando numericamente a constante:
L=\sin 1\approx0,8414709848,
portanto
1-L\approx0,1585290152.
Com \varepsilon=10^{-6} o limite para a diferença consecutiva é
(1-L)\varepsilon\approx0,1585290152\times10^{-6}\approx1,585290152\times10^{-7}.
Assim vamos iterar até que |x_{n+1}-x_n|\le1,58529\times10^{-7}. Quando isso ocorrer, o termo x_n estará dentro de \varepsilon de x^*.

Passo 5

Escolher uma aproximação inicial simples e começar a iterar (explicando a escolha): vamos tomar x_0=1. É uma escolha natural porque 1\in[0,1] e é fácil de calcular \cos1. Agora calculamos os termos x_{n+1}=\cos x_n até o critério acima ser satisfeito. Vou mostrar as iterações relevantes (valores com muitas casas para ver a convergência). Todos os números abaixo foram obtidos aplicando \cos com precisão suficiente:
\begin{aligned} x_0 &= 1,\\\ x_1 &= \cos x_0 = \cos 1 \approx 0,5403023058681398,\\\ x_2 &= \cos x_1 \approx 0,8575532158463934,\\\ x_3 &\approx 0,6542897904977791,\\\ x_4 &\approx 0,7934803587425656,\\\ x_5 &\approx 0,7013687736227565,\\\ x_6 &\approx 0,7639596829006542,\\\ x_7 &\approx 0,7221024250267077,\\\ x_8 &\approx 0,7504177617637605,\\\ x_9 &\approx 0,7314040424225098,\\\ x_{10} &\approx 0,7442373549005569,\\\ x_{11} &\approx 0,7356047404363474,\\\ x_{12} &\approx 0,7414250866101092,\\\ x_{13} &\approx 0,7375068905132428,\\\ x_{14} &\approx 0,7401473355678757,\\\ x_{15} &\approx 0,7383692041223232,\\\ x_{16} &\approx 0,7395672022122561,\\\ x_{17} &\approx 0,7387603198742113,\\\ x_{18} &\approx 0,7393038923969059,\\\ x_{19} &\approx 0,7389377567153445,\\\ x_{20} &\approx 0,7391843997714936,\\\ x_{21} &\approx 0,7390182624274122,\\\ x_{22} &\approx 0,7391301765296711,\\\ x_{23} &\approx 0,7390547907469174,\\\ x_{24} &\approx 0,7391055719265363,\\\ x_{25} &\approx 0,7390713652989449,\\\ x_{26} &\approx 0,7390944073790913,\\\ x_{27} &\approx 0,7390788859949920,\\\ x_{28} &\approx 0,7390893414033927,\\\ x_{29} &\approx 0,7390822985224024,\\\ x_{30} &\approx 0,7390870426953322,\\\ x_{31} &\approx 0,7390838469650006,\\\ x_{32} &\approx 0,7390855263619245,\\\ x_{33} &\approx 0,7390847353866271,\\\ x_{34} &\approx 0,7390852883258206,\\\ x_{35} &\approx 0,7390849996481299,\\\ x_{36} &\approx 0,7390851699445544,\\\ x_{37} &\approx 0,7390850762662052. \end{aligned}

Passo 6

Verificar o critério de parada com as diferenças consecutivas (vou calcular a diferença em módulo e comparar com 1,58529\times10^{-7}):
  • |x_{37}-x_{36}|\approx|0,7390850762662052-0,7390851699445544|\approx9,366e-8.
    Escrito em notação TeX:
|x_{37}-x_{36}|\approx9,366\times10^{-8}.
Esse valor satisfaz
9,366\times10^{-8}\le1,58529\times10^{-7}.
Como essa desigualdade vale, pela estimativa de contração temos
|x_{36}-x^*|\le\frac{|x_{37}-x_{36}|}{1-L}\le\varepsilon,
ou seja, x_{36} está dentro de \varepsilon=10^{-6} da solução exata x^*. Portanto podemos aceitar x_{36} como aproximação com a precisão exigida. Observe que poderíamos também usar x_{37}; ambos estão dentro da precisão requerida (a escolha acima segue diretamente a cota clássica).

Passo 7

Apresentar a aproximação final arredondada com a precisão solicitada. Pediram precisão \varepsilon=10^{-6}, então podemos dar o valor arredondado a 6 casas decimais. O valor obtido (por exemplo x_{36}) é aproximadamente 0,7390851699445544, que arredondado a 6 casas decimais é 0,739085.

Resposta

x\approx0,739085

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