Encontrar a solução para a equação
precisão
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução da equação
com precisão
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A incógnita é
. - A equação é
. - Desejamos um valor aproximado de
tal que o erro em relação à solução exata seja menor ou igual a .
Passo 2
Escolhemos uma forma prática de obter a solução usando iteração: definir a função iterativa
e calcular a sequência
Por que isso faz sentido (explicação didática, sem jargões complicados): se existirá um ponto
tal que
, então
é um ponto fixo de
. Se
for uma contração num intervalo que contenha esse ponto, a iteração
converge para
. Vou agora mostrar que
é de fato uma contração num intervalo adequado e como usar isso para controlar o erro.
Passo 3
Provar que
é contração em um intervalo que contém a solução (explicando tudo passo a passo):
- Note que, para qualquer
, . Então . - Se considerarmos o intervalo
, temos para todo . Numericamente,
- Portanto,
tem derivada em módulo majorada por
Isso mostra que
é uma contração em
com constante de contração
.
- Também é preciso ver que a iteração fica dentro do intervalo: para
temos (peguei o dado de avaliado em ). Logo mapeia em si, então a iteração não sai do intervalo.
Passo 4
Usar a propriedade de contração para obter uma cota de erro útil (aulas práticas e fórmula):
- Para uma contração com constante
vale a desigualdade
Dessa relação geométrica podemos obter a cota
Esta desigualdade é muito prática: ela diz que, se fizermos a iteração até que a diferença entre dois termos consecutivos
seja pequena, então o termo anterior
já está próximo da solução
. Em particular, para garantir
basta exigir
- Calculando numericamente a constante:
portanto
Com
o limite para a diferença consecutiva é
Assim vamos iterar até que
. Quando isso ocorrer, o termo
estará dentro de
de
.
Passo 5
Escolher uma aproximação inicial simples e começar a iterar (explicando a escolha): vamos tomar
. É uma escolha natural porque
e é fácil de calcular
. Agora calculamos os termos
até o critério acima ser satisfeito. Vou mostrar as iterações relevantes (valores com muitas casas para ver a convergência). Todos os números abaixo foram obtidos aplicando
com precisão suficiente:
Passo 6
Verificar o critério de parada com as diferenças consecutivas (vou calcular a diferença em módulo e comparar com
):
-
.
Escrito em notação TeX:
Esse valor satisfaz
Como essa desigualdade vale, pela estimativa de contração temos
ou seja,
está dentro de
da solução exata
. Portanto podemos aceitar
como aproximação com a precisão exigida. Observe que poderíamos também usar
; ambos estão dentro da precisão requerida (a escolha acima segue diretamente a cota clássica).
Passo 7
Apresentar a aproximação final arredondada com a precisão solicitada. Pediram precisão
, então podemos dar o valor arredondado a 6 casas decimais. O valor obtido (por exemplo
) é aproximadamente
, que arredondado a 6 casas decimais é
.