Isolar os zeros da função
.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar os zeros da função
; ou seja, resolver a equação
Informações dadas e observações imediatas:
- A função envolve
, portanto o domínio natural é . - Precisamos achar todos os
que satisfaçam a equação acima.
Passo 2
Entender o comportamento de
para saber quantas soluções esperar.
- Limite quando
: (porque mas é multiplicado por , produto tende a zero). - Valor em
: . - Derivada: calcular
. Usamos regra do produto: se então
- Zeros de
: quando . Assim tem mínimo local em . - Valor mínimo:
. - Comportamento para
: .
Conclusão qualitativa:parte de em , desce até em , volta a subir passando por e cresce para . Portanto, para o valor haverá exatamente uma solução com (nenhuma em porque ali ).
Passo 3
Transformação que facilita a solução — substituição logarítmica:
- Seja
. Então . - Substituindo na equação
obtemos
ou seja
Esta é a forma padrão resolvível pela função de Lambert
: a função
é definida como a inversa da função
. Em outras palavras, se
então
. (Aqui usamos a ramo principal
porque
.)
Passo 4
Aplicando
à equação
:
Voltando para
via
, obtemos
Usando a identidade útil
segue que
. Assim podemos escrever a solução também na forma
Esta é a expressão exata do zero em termos da função de Lambert.
Passo 5
Aproximação numérica do zero (método prático para a prova): podemos achar
por iteração de Newton sobre
. Vou mostrar duas iterações para chegar a precisão razoável.
- Escolha inicial razoável:
(porque e um pouco mais que 1 já dá produto próximo). - Fórmula de Newton:
, onde .
Cálculos: - Para
: . Então
Logo
- Para
: . Calculando obtemos um valor muito pequeno (aprox. ), e mais uma iteração leva a
Assim
. Então
Também pode-se usar
e obter
, mesma resposta.
Passo 6
Resumo das conclusões e observações úteis para a prova:
- Há exatamente um zero da função
no domínio . - A solução pode ser escrita de forma exata usando a função de Lambert:
- A aproximação numérica, adequada para resposta em prova, é
.
Força aí — essa transformaçãoe o uso do Lambert é padrão quando aparece produto do tipo ; decorando esse passo você resolve rapidamente casos parecidos.