Nos exercícios seguintes, converter os números para a base decimal, determinando o valor da variável x :
1,010011_{2}=x_{10}.

Passo 1

O enunciado pede: converter o número binário 1,010011_{2} para a base decimal e determinar o valor da variável x tal que 1,010011_{2}=x_{10}.
Informações dadas:
\;1,010011_{2} é um número em base 2 (binário) com parte inteira 1 e parte fracionária 010011.
A tarefa é escrever esse número na base decimal (base 10) e apresentar o valor de x.

Passo 2

Entender o que significa a escrita posicional em base 2 (explicação didática):
  • Em qualquer base b, cada dígito tem um peso que é uma potência de b.
  • Para a parte inteira, os pesos são b^0, b^1, b^2,\dots da direita para a esquerda.
  • Para a parte fracionária, os pesos são b^{-1}, b^{-2}, b^{-3},\dots da esquerda para a direita.
No nosso caso, b=2. Então cada dígito da parte fracionária multiplica uma potência negativa de 2.
Fórmula geral (para um número com parte inteira e fracionária):
\text{se }N=(d_k\ldots d_1 d_0,d_{-1} d_{-2}\ldots)_b\text{ então } N=\sum_{i=0}^{k} d_i b^{i} + \sum_{j=1}^{\infty} d_{-j} b^{-j}.ã
Aqui d_i e d_{-j} são os dígitos (0 ou 1 no caso binário).

Passo 3

Aplicando a ideia ao número dado: identifiquemos cada dígito com seu peso em potências de 2.
O número é 1,010011_{2}. Escrevendo a soma com os pesos:
1,010011_{2} = 1\cdot 2^{0} + 0\cdot 2^{-1} + 1\cdot 2^{-2} + 0\cdot 2^{-3} + 0\cdot 2^{-4} + 1\cdot 2^{-5} + 1\cdot 2^{-6}.

Passo 4

Calculemos termo a termo, explicando cada passo:
  • 1\cdot 2^{0} = 1. (Porque qualquer número elevado a zero vale 1 e multiplicado por 1 dá 1.)
  • 0\cdot 2^{-1} = 0. (Dígito zero contribui zero.)
  • 1\cdot 2^{-2} = \dfrac{1}{2^{2}} = \dfrac{1}{4} = 0,25.
  • 0\cdot 2^{-3} = 0.
  • 0\cdot 2^{-4} = 0.
  • 1\cdot 2^{-5} = \dfrac{1}{2^{5}} = \dfrac{1}{32} = 0,03125.
  • 1\cdot 2^{-6} = \dfrac{1}{2^{6}} = \dfrac{1}{64} = 0,015625.
Agora somamos tudo. Primeiro, somando exatas em fração com denominador comum 64 (para exatidão):
1 = \dfrac{64}{64},\quad \dfrac{1}{4}=\dfrac{16}{64},\quad \dfrac{1}{32}=\dfrac{2}{64},\quad \dfrac{1}{64}=\dfrac{1}{64}.
Somando os numeradores:
\dfrac{64}{64}+\dfrac{16}{64}+\dfrac{2}{64}+\dfrac{1}{64}=\dfrac{64+16+2+1}{64}=\dfrac{83}{64}.
A fração \dfrac{83}{64} é o valor exato. Convertendo para decimal:
\dfrac{83}{64}=1,296875.
(Se preferir somar os valores decimais: 1 + 0,25 + 0,03125 + 0,015625 = 1,296875.)

Passo 5

Interpretação final e dica prática para a prova:
  • O resultado exato é \dfrac{83}{64} e, em decimal, \;1,296875.
  • Dica rápida sem calculadora: somar frações com denominador potência de 2 é fácil transformando tudo para o maior denominador (aqui 64). Outra técnica é multiplicar repetidamente a parte fracionária por 2 para reconstruir dígitos, mas a soma de potências é direta e segura para números curtos como este.

Resposta

x_{10}=1,296875

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