Encontrar a solução geral usando o método indicado.
(c) y^{\prime \prime}-y^{\prime}=2 e^{t} (variação dos parâmetros)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y'' - y' = 2e^{t}
usando o método da variação de parâmetros, que consiste em obter primeiro a solução geral da homogênea, depois calcular a função de Wronskian e, em seguida, determinar funções auxiliares u_1(t) e u_2(t) para construir uma solução particular.

Passo 2

Resolvemos a equação homogênea associada
y'' - y' = 0.
A equação característica é
r^2 - r = 0,
cuja solução é r=0 e r=1. Portanto duas soluções lineares independentes são
y_1(t) = 1,\quad y_2(t) = e^{t},
e a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_1\cdot 1 + C_2\cdot e^{t}.

Passo 3

Calculamos o Wronskian das soluções y_1,y_2:
W(t) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & e^t\\\\ 0 & e^t \end{vmatrix} = e^t.

Passo 4

No método de variação de parâmetros escrevemos
y_p(t) = u_1(t)\,y_1(t) + u_2(t)\,y_2(t)
e impomos
u_1'(t)\,y_1(t) + u_2'(t)\,y_2(t) = 0, \quad u_1'(t)\,y_1'(t) + u_2'(t)\,y_2'(t) = g(t),
onde g(t) é o termo não-homogêneo dividido pelo coeficiente de y'', aqui g(t)=2e^t. As fórmulas diretas são
u_1'(t) = -\frac{y_2(t)\,g(t)}{W(t)},\quad u_2'(t) = \frac{y_1(t)\,g(t)}{W(t)}.
Substituindo y_1,y_2,W,g:
u_1'(t) = -\frac{e^t\cdot 2e^t}{e^t} = -2e^t, \qquad u_2'(t) = \frac{1\cdot 2e^t}{e^t} = 2.

Passo 5

Integramos para obter u_1 e u_2:
u_1(t) = \int -2e^t\,dt = -2e^t, \qquad u_2(t) = \int 2\,dt = 2t.

Passo 6

A solução particular fica
y_p(t) = u_1(t)\,y_1(t) + u_2(t)\,y_2(t) = (-2e^t)\cdot 1 + (2t)\cdot e^t = 2t\,e^t - 2e^t.
Logo a solução geral da equação não-homogênea é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 + C_2\,e^t + 2t\,e^t - 2e^t.

Resposta

y(t) = C_1 + C_2\,e^t + 2t\,e^t - 2e^t.

Exercícios relacionados