Encontrar a solução geral usando o método indicado.
(d) 4 y^{\prime \prime}+36 y=\operatorname{cosec}(3 t) (variação dos parâmetros)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação
4\,y'' + 36\,y = \csc(3t)
usando o método de variação de parâmetros. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver, vamos: 1) dividir por 4 e obter a equação na forma padrão, 2) encontrar a solução geral do homogêneo, 3) escolher duas soluções fundamentais y_1,y_2, 4) calcular o Wronskiano, 5) aplicar as fórmulas de variação de parâmetros para determinar as funções u_1(t) e u_2(t), 6) montar a parte particular y_p, 7) escrever a solução geral y=y_h+y_p.
Passo 2
Dividindo a equação original por 4, obtemos
y'' + 9\,y = \frac{1}{4}\,\csc(3t).
A parte homogênea é
y'' + 9\,y = 0,
com equação característica
r^2 +9 = 0\quad\Longrightarrow\quad r = \pm 3\,i.
Logo a solução geral do homogêneo é
y_h = C_1\cos(3t) + C_2\sin(3t).
Escolhemos como base fundamental
y_1 = \cos(3t),\quad y_2 = \sin(3t).
Passo 3
Para variação de parâmetros precisamos do Wronskiano