Encontrar a solução geral usando o método indicado.
(d) 4 y^{\prime \prime}+36 y=\operatorname{cosec}(3 t) (variação dos parâmetros)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
4\,y'' + 36\,y = \csc(3t)
usando o método de variação de parâmetros. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver, vamos:
1) dividir por 4 e obter a equação na forma padrão,
2) encontrar a solução geral do homogêneo,
3) escolher duas soluções fundamentais y_1,y_2,
4) calcular o Wronskiano,
5) aplicar as fórmulas de variação de parâmetros para determinar as funções u_1(t) e u_2(t),
6) montar a parte particular y_p,
7) escrever a solução geral y=y_h+y_p.

Passo 2

Dividindo a equação original por 4, obtemos
y'' + 9\,y = \frac{1}{4}\,\csc(3t).
A parte homogênea é
y'' + 9\,y = 0,
com equação característica
r^2 +9 = 0\quad\Longrightarrow\quad r = \pm 3\,i.
Logo a solução geral do homogêneo é
y_h = C_1\cos(3t) + C_2\sin(3t).
Escolhemos como base fundamental
y_1 = \cos(3t),\quad y_2 = \sin(3t).

Passo 3

Para variação de parâmetros precisamos do Wronskiano
W(t) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}.
Como
y_1' = -3\sin(3t),\quad y_2' = 3\cos(3t),
temos
W(t) = \cos(3t)\cdot 3\cos(3t) - (-3\sin(3t))\cdot \sin(3t) = 3\bigl(\cos^2(3t)+\sin^2(3t)\bigr) = 3.

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros para a EDO
y'' +9y = f(t)
com f(t)=\tfrac14\csc(3t) são
u_1' = -\frac{y_2\,f}{W},\quad u_2' = \frac{y_1\,f}{W}.
Substituindo y_1,y_2,f,W:
u_1' = -\frac{\sin(3t)\,\bigl(\tfrac14\csc(3t)\bigr)}{3} = -\frac{1}{12},
u_2' = \frac{\cos(3t)\,\bigl(\tfrac14\csc(3t)\bigr)}{3} = \frac{1}{12}\,\cot(3t).

Passo 5

Agora integramos para obter u_1 e u_2:
u_1(t) = \int u_1'\,dt = \int \Bigl(-\tfrac{1}{12}\Bigr)\,dt = -\frac{t}{12},
u_2(t) = \int u_2'\,dt = \frac{1}{12}\int \cot(3t)\,dt = \frac{1}{12}\cdot\frac{1}{3}\ln\bigl|\sin(3t)\bigr| = \frac{1}{36}\ln\bigl|\sin(3t)\bigr|.

Passo 6

A parte particular fica
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = \Bigl(-\frac{t}{12}\Bigr)\cos(3t) + \frac{1}{36}\ln\bigl|\sin(3t)\bigr|\;\sin(3t).

Resposta

\boxed{y(t)=C_1\cos(3t)+C_2\sin(3t)\;-\;\frac{t}{12}\cos(3t) \;+\;\frac{1}{36}\,\sin(3t)\,\ln\bigl|\sin(3t)\bigr|.}

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