(a) Resolva
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+16 y=0 \\\ y(0)=10, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.
(b) Faça o gráfico da solução.
(c) Interprete fisicamente (sistema massa mola- Caso: Vibrações Livres não Amortecidas \mathrm{F}(\mathrm{t})=0 е \gamma=0 ).
(d) \mathrm{Em} \mathrm{t}=\pi / 4 a massa está acima ou abaixo da posição de equilíbrio? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede (a) resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
\displaystyle y'' + 16\,y = 0
com condições iniciais \displaystyle y(0)=10 e \displaystyle y'(0)=0;
(b) desenhar o gráfico da solução;
(c) interpretar fisicamente no caso de vibrações livres não amortecidas de um sistema massa-mola sem força externa ( \displaystyle F(t)=0, amortecimento nulo);
(d) determinar se em \displaystyle t=\pi/4 a massa está acima ou abaixo da posição de equilíbrio.
Conteúdo: equações diferenciais de coeficientes constantes e movimento harmónico simples.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 + 16 = 0
Logo r = \pm 4\,i. A solução geral é
y(t) = A\cos(4t) + B\sin(4t).

Passo 3

Aplicamos as condições iniciais. Em t=0:
y(0) = A = 10.
Derivando y(t):
y'(t) = -4A\sin(4t) + 4B\cos(4t),
e em t=0:
y'(0) = 4B = 0 \;\Longrightarrow\; B = 0.

Passo 4

Substituindo A=10 e B=0, obtemos a solução particular
y(t) = 10\cos(4t).

Passo 5

O gráfico de y(t)=10\cos(4t) é uma onda cossenoidal de amplitude 10 e período
T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.
Ela atinge y=10 em t=0, cruza y=0 em t=\pi/8, atinge y=-10 em t=\pi/4, cruza y=0 em t=3\pi/8 e retorna a y=10 em t=\pi/2.

Passo 6

Física do sistema massa-mola não amortecido e sem força externa ( F(t)=0, coeficiente de amortecimento \gamma=0): trata-se de movimento harmónico simples, com energia trocada entre energia cinética e energia potencial elástica sem perdas. A massa oscila em torno da posição de equilíbrio com frequência angular \omega=4 rad/s e amplitude 10.

Passo 7

Em t=\pi/4 temos
y\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = 10\cos\bigl(4\cdot\tfrac{\pi}{4}\bigr) = 10\cos(\pi) = -10 < 0.
Como y<0, a massa está abaixo da posição de equilíbrio.

Resposta

(a) \displaystyle y(t) = 10\cos(4t).
(b) Gráfico: onda cossenoidal de amplitude 10 e período \pi/2, com máximos em y=10 (por exemplo em t=0), mínimos em y=-10 (por exemplo em t=\pi/4).
(c) É um movimento harmónico simples de um sistema massa-mola livre não amortecido, sem força externa ( \displaystyle F(t)=0, \displaystyle\gamma=0), onde a massa oscila em torno do equilíbrio.
(d) Em t=\pi/4, y(\pi/4)=-10<0, logo a massa está abaixo da posição de equilíbrio.

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