Encontrar a solução geral usando o método indicado.
(a) y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=(1+t) e^{3 t} (coeficientes a determinar)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y'' - 3y' + 2y = (1 + t)e^{3t},
usando o método dos coeficientes a determinar. Para isso, vamos (1) achar a solução geral da homogênea e (2) determinar uma solução particular.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - 3y' + 2y = 0.
O polinômio característico é
r^2 - 3r + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (r-1)(r-2)=0,
portanto r=1 ou r=2 e
y_h = C_1 e^{t} + C_2 e^{2t}.

Passo 3

Como o termo não homogêneo é (1+t)e^{3t} e 3 não é raiz do característico, fazemos o palpite
y_p = (A\,t + B)\,e^{3t},
com A,B constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p' = \bigl(A + 3(A\,t + B)\bigr)e^{3t} = (3A\,t + A + 3B)\,e^{3t},
y_p'' = \bigl(3A + 3(3A\,t + A + 3B)\bigr)e^{3t} = (9A\,t + 6A + 9B)\,e^{3t}.
Substituindo na equação original:
y_p'' - 3y_p' + 2y_p = \bigl(9A\,t + 6A + 9B\bigr) -3\bigl(3A\,t + A + 3B\bigr) +2\bigl(A\,t + B\bigr) \;=\;(2A\,t + 3A + 2B)\,e^{3t}.
Deve-se igualar a (1+t)e^{3t}, logo
2A = 1, \quad 3A + 2B = 1 \;\Longrightarrow\; A = \tfrac12,\; 2B = 1 - \tfrac32 = -\tfrac12, \;B = -\tfrac14.

Passo 5

Portanto uma solução particular é
y_p = \Bigl(\tfrac12\,t - \tfrac14\Bigr)e^{3t},
e a solução geral fica
y = y_h + y_p = C_1 e^{t} + C_2 e^{2t} + \Bigl(\tfrac12\,t - \tfrac14\Bigr)e^{3t}.

Resposta

y = C_1 e^{t} + C_2 e^{2t} + \Bigl(\tfrac12\,t - \tfrac14\Bigr)\,e^{3t}.

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