Encontrar a solução geral usando o método indicado.
(b) y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=(1+t) e^{3 t}+\operatorname{sen} 2 t (coeficientes a determinar)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' - 3y' + 2y = (1 + t)\,e^{3t} + \sin 2t
pelo método dos coeficientes a determinar.
Primeiro vamos achar a solução geral da homogênea e depois um particular para cada termo do segundo membro: um para (1+t)e^{3t} e outro para \sin2t.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea
y'' - 3y' + 2y = 0
montamos o polinômio característico
r^2 - 3r + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; (r-1)(r-2)=0
logo r=1 ou r=2. A solução homogênea é
y_h = C_1 e^{t} + C_2 e^{2t}.

Passo 3

Para o termo (1+t)e^{3t}, como r=3 não é raiz da característica, fazemos o ansatz
y_{p1} = (A t + B)\,e^{3t}.
Calculamos as derivadas:
y_{p1}' = \bigl(3A t + (3B+A)\bigr)e^{3t}, \quad y_{p1}'' = \bigl(9A t + (9B+6A)\bigr)e^{3t}.
Substituindo em y''-3y'+2y:
y''-3y'+2y = e^{3t}\Bigl[9A t +9B+6A -3(3A t+3B+A)+2(At+B)\Bigr] = e^{3t}\bigl(2A t + (3A+2B)\bigr).
Igualando a (1+t)e^{3t} dá o sistema
2A = 1,\qquad 3A + 2B = 1,
de onde A=\tfrac12 e B=-\tfrac14.
Assim
y_{p1} = \Bigl(\tfrac12\,t - \tfrac14\Bigr)e^{3t}.

Passo 4

Para o termo \sin2t, usamos o ansatz
y_{p2} = C\cos2t + D\sin2t.
As derivadas são
y_{p2}' = -2C\sin2t + 2D\cos2t, \quad y_{p2}'' = -4C\cos2t -4D\sin2t.
Substituindo em y''-3y'+2y obtemos
(-2C -6D)\cos2t + (6C -2D)\sin2t = \sin2t.
Igualando coeficientes:
-2C - 6D = 0, \quad 6C - 2D = 1
resolve-se D=-\tfrac1{20}, C=\tfrac3{20}.
Logo
y_{p2} = \tfrac3{20}\cos2t \;-\;\tfrac1{20}\sin2t.

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com os particulares:
y(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{2t} + \Bigl(\tfrac12\,t - \tfrac14\Bigr)e^{3t} + \tfrac3{20}\cos2t - \tfrac1{20}\sin2t.

Resposta

y(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{2t} + \Bigl(\tfrac12\,t - \tfrac14\Bigr)e^{3t} + \tfrac3{20}\cos2t - \tfrac1{20}\sin2t.

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