Encontre a solução do sistema massa-mola (Caso: Vibrações Forçadas e Amortecidas)
\left\{\begin{array}{l} 1 / 5 y^{\prime \prime}+1,2 y^{\prime}+2 y=\cos 4 t \\\ y(0)=1 / 2, y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema massa–mola amortecido e forçado
\frac{1}{5}y'' + 1{,}2\,y' + 2\,y = \cos 4t, \quad y(0)=\frac12,\; y'(0)=0.
Para simplificar, multiplico a equação por 5, obtendo a forma padrão:
y'' + 6\,y' + 10\,y = 5\cos 4t.

Passo 2

Considero a equação homogênea associada
y'' + 6\,y' + 10\,y = 0.
A equação característica é
r^2 + 6r + 10 = 0,
cuja solução é
r = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2} = -3 \pm i.

Passo 3

Pela forma das raízes complexas, a solução geral da homogênea é
y_h(t) = e^{-3t}\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr).

Passo 4

Buscamos um particular da forma
y_p(t) = A\cos 4t + B\sin 4t.
Então
y_p' = -4A\sin 4t + 4B\cos 4t, \qquad y_p'' = -16A\cos 4t -16B\sin 4t.
Substituindo em y''+6y'+10y=5\cos4t\) dá \[(-16A +24B +10A)\cos4t +(-16B -24A +10B)\sin4t =5\cos4t,
isto é,
(-6A +24B)\cos4t +(-6B -24A)\sin4t =5\cos4t +0\sin4t.
O sistema para A,B é
\begin{cases} -6A + 24B = 5,\\\\ -6B -24A = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem (B=-4A]. Substituindo na primeira:
-6A +24(-4A) = -102A =5 \;\Longrightarrow\; A = -\frac{5}{102}, \quad B = \frac{10}{51}.
Logo
y_p(t) = -\frac{5}{102}\cos4t + \frac{10}{51}\sin4t.

Passo 5

A solução geral é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = e^{-3t}(C_1\cos t + C_2\sin t) -\frac{5}{102}\cos4t + \frac{10}{51}\sin4t.
Impondo y(0)=\tfrac12:
y(0)=C_1 + \Bigl(-\frac{5}{102}\Bigr) = \frac12 \;\Longrightarrow\; C_1 = \frac12 + \frac{5}{102} = \frac{28}{51}.

Passo 6

Calculamos y'(t). Para y_h:
y_h' = e^{-3t}\bigl[(-3C_1 + C_2)\cos t +(-3C_2 - C_1)\sin t\bigr].
Para y_p:
y_p' = -4\Bigl(-\tfrac{5}{102}\Bigr)\sin4t +4\Bigl(\tfrac{10}{51}\Bigr)\cos4t = \frac{40}{51}\cos4t + \frac{20}{51}\sin4t\cdot(0),
mas em t=0 só importa \tfrac{40}{51}. Assim
y'(0) = (-3C_1 + C_2) + \frac{40}{51} = 0 \;\Longrightarrow\; C_2 = 3C_1 - \frac{40}{51} = \frac{84}{51} - \frac{40}{51} = \frac{44}{51}.

Passo 7

Substituindo C_1 e C_2, a solução completa é
\boxed{ y(t) = e^{-3t}\Bigl(\frac{28}{51}\cos t + \frac{44}{51}\sin t\Bigr) - \frac{5}{102}\cos4t + \frac{10}{51}\sin4t. }

Resposta

y(t) = e^{-3t}\Bigl(\frac{28}{51}\cos t + \frac{44}{51}\sin t\Bigr) - \frac{5}{102}\cos4t + \frac{10}{51}\sin4t.

Exercícios relacionados