Encontrar a solução particular da Equação abaixo dado as condições
b) y \operatorname{sen}(x) d x+\left(y^{2}+1\right) e^{\cos (x)} d y=0, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y\sin(x)\,dx + \bigl(y^2+1\bigr)e^{\cos(x)}\,dy = 0
com a condição inicial y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
O conteúdo aqui é separação de variáveis em equações de primeira ordem, pois podemos escrever \tfrac{dy}{dx} e separar y de x.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma \tfrac{dy}{dx}=\dots.
Como
y\sin(x)\,dx + \bigl(y^2+1\bigr)e^{\cos(x)}\,dy = 0
temos
\bigl(y^2+1\bigr)e^{\cos(x)}\frac{dy}{dx} = -\,y\sin(x) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{y\sin(x)}{\bigl(y^2+1\bigr)e^{\cos(x)}}.

Passo 3

Separamos as variáveis y e x:
\frac{y^2+1}{y}\,dy = -\,\sin(x)\,e^{-\cos(x)}\,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{y^2+1}{y}\,dy = \int \Bigl(y + \frac1y\Bigr)\,dy = \frac{y^2}{2} + \ln\lvert y\rvert,
\int -\sin(x)\,e^{-\cos(x)}\,dx = -\,e^{-\cos(x)},
pois d\bigl(e^{-\cos(x)}\bigr)/dx = \sin(x)e^{-\cos(x)}. Logo a primitiva é
\frac{y^2}{2} + \ln\lvert y\rvert = -\,e^{-\cos(x)} + C.

Passo 5

Usamos a condição y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1. Como \cos(\tfrac{\pi}{2})=0, temos
\frac{1^2}{2} + \ln(1) = \frac12 + 0 = \frac12 \quad\text{e}\quad -\,e^{-\cos(\pi/2)} + C = -\,e^{0} + C = -1 + C.
Igualando, \tfrac12 = -1 + C, então C = \tfrac32.

Passo 6

Substituindo C na solução implícita:
\frac{y^2}{2} + \ln\lvert y\rvert = -\,e^{-\cos(x)} + \frac32.
Multiplicando por 2,
y^2 + 2\ln\lvert y\rvert + 2\,e^{-\cos(x)} = 3.

Resposta

A solução particular (implícita) é
y^2 + 2\ln\lvert y\rvert + 2\,e^{-\cos(x)} = 3,
que satisfaz y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.

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